若 A=20° ，且 B=25° ，则 (1+\tan A)(1+\tan B) 的值为

1985 AMC 12 第 16 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1985 AMC 12 第 16 题

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16.

若 $A=20^\circ$ ，且 $B=25^\circ$ ，则 $(1+\tan A)(1+\tan B)$ 的值为

If $A=20^\circ$ and $B=25^\circ,$ then the value of $(1+\tan A)(1+\tan B)$ is

$\sqrt3$

$2$

$1+\sqrt2$

$2(\tan A+\tan B)$

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：三角恒等式三角学

难度评级：1920

小提示：

在正切加法公式中使用 $A+B=45^\circ$

Use $A+B=45^\circ$ in the tangent addition formula

大提示：

将 $\tan A+\tan B$ 用 $\tan A\tan B$ 表示

Express $\tan A+\tan B$ in terms of $\tan A\tan B$

解答：

因为 $\tan(A+B)=\tan45^\circ=1$ ， $\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1\text{，}$ 所以 $\tan A+\tan B$ $=1-\tan A\tan B$ 。因此 $\begin{aligned} &(1+\tan A)(1+\tan B)\\ &\quad=1+(1-\tan A\tan B)\\ &\qquad+\tan A\tan B\\ &\quad=2\text{。} \end{aligned}$ 所以正确答案是 B。

Because $\tan(A+B)=\tan45^\circ=1,$ $\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1,$ so $\tan A+\tan B$ $=1-\tan A\tan B.$ Therefore $\begin{aligned} &(1+\tan A)(1+\tan B)\\ &\quad=1+(1-\tan A\tan B)\\ &\qquad+\tan A\tan B\\ &\quad=2. \end{aligned}$ Thus the correct answer is B.

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