Question

设 $f(x)=x^2+3x+2$ ，并设 $S$ 为整数集合 $\{0,1,2,\ldots,25\}$ 。使 $f(s)$ 除以 $6$ 的余数为零的 $S$ 中元素 $s$ 的个数是：

Let $f(x)=x^2+3x+2$ and let $S$ be the set of integers $\{0,1,2,\ldots,25\}.$ The number of members $s$ of $S$ such that $f(s)$ has remainder zero when divided by $6$ is:

$25$

$22$

$21$

$18$

$17$

答案：E

知识点：模运算整除性区间内整数计数

难度评级：1450

小提示：

将 $f(s)$ 分解为 $(s+1)(s+2)$

Factor $f(s)$ as $(s+1)(s+2)$

大提示：

该乘积总是偶数；判断 $s$ 模 $3$ 的哪一类余数不符合

The product is always even; determine which residue of $s$ modulo $3$ fails

解答：

有 $f(s)=(s+1)(s+2)$ ，这是两个连续整数的乘积，所以总是偶数。除非 $s\equiv0\pmod3$ ，否则它能被 $3$ 整除。在 $0,1,\ldots,25$ 中，有九个数是 $3$ 的倍数。因此有 $26-9=17$ 个数符合条件。

因此，正确答案是 E。

We have $f(s)=(s+1)(s+2),$ a product of consecutive integers, so it is always even. It is divisible by $3$ unless $s\equiv0\pmod3.$ Among $0,1,\ldots,25,$ nine values are multiples of $3.$ Thus $26-9=17$ values work.

Therefore, the correct answer is E.

1964 AMC 12 第 16 题

答案：E

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题