Question

立方体的八个顶点中，有四个是一个正四面体的顶点。求立方体表面积与正四面体表面积之比。

Four of the eight vertices of a cube are vertices of a regular tetrahedron. Find the ratio of the surface area of the cube to the surface area of the tetrahedron.

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$\sqrt{\frac32}$

$\frac2{\sqrt3}$

$2$

答案：B

知识点：正方体表面积等边三角形

难度评级：1780

小提示：

若立方体棱长为 $s$ ，则正四面体的每条棱都是立方体的一个面对角线

If the cube edge is $s,$ each tetrahedron edge is a face diagonal

大提示：

比较 $6s^2$ 与四个边长为 $s\sqrt2$ 的等边三角形的总面积

Compare $6s^2$ with four equilateral triangles of side $s\sqrt2$

解答：

设立方体棱长为 $s$ 。正四面体的每条棱都是立方体的面对角线，所以长度为 $s\sqrt2$ 。正四面体的表面积为 $4\left(\frac{\sqrt3}{4}(s\sqrt2)^2\right) =2\sqrt3\,s^2\text{。}$ 立方体的表面积为 $6s^2$ ，所以所求比为 $\frac{6}{2\sqrt3}=\sqrt3$ 。

因此，正确答案是 B。

Let the cube edge be $s.$ Each tetrahedron edge is a cube face diagonal, so it has length $s\sqrt2.$ The tetrahedron’s surface area is $4\left(\frac{\sqrt3}{4}(s\sqrt2)^2\right) =2\sqrt3\,s^2.$ The cube’s surface area is $6s^2,$ so the ratio is $\frac{6}{2\sqrt3}=\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is B.

1980 AMC 12 第 16 题

答案：B

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题