LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

2019 AMC 12A 第 16 题

先试着解答 2019 AMC 12A 第 16 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2019 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

16.

数字 11，22，…\ldots，99 被随机放入一个 3×33 \times 3 方格的 99 个格子中。每个格子放一个数，每个数恰好使用一次。每一行和每一列中的数字和都为奇数的概率是多少？

The numbers 1,1, 2,2, …,\ldots, 99 are randomly placed into the 99 squares of a 3×33 \times 3 grid. Each square gets one number, and each of the numbers is used once. What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?

121\dfrac{1}{21}

114\dfrac{1}{14}

563\dfrac{5}{63}

221\dfrac{2}{21}

17\dfrac{1}{7}

答案：B
知识点：奇偶性基本概率排列
难度评级：1800
小提示：

有 55 个奇数和 44 个偶数；每一行和每一列都需要含有奇数个奇数

There are 55 odd and 44 even numbers; each row and column needs an odd count of odd numbers

大提示：

奇数项必须填满一整行和一整列，形成一个由 55 个格子组成的加号形

The odd entries must fill one entire row and one entire column, forming a plus shape of 55 cells

解答：

有 55 个奇数和 44 个偶数。每一行和每一列都必须包含奇数个奇数项。

要放置 55 个奇数项并使每一行和每一列的奇数项个数都为奇数，唯一的形状是填满一整行和一整列（一个由 3+3−1=53 + 3 - 1 = 5 个格子组成的加号形）。这样的图案有 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 种。

每种图案中，奇数有 5!5! 种放法，偶数有 4!4! 种放法，所以概率为 9⋅5!⋅4!9!=114。 \dfrac{9 \cdot 5! \cdot 4!}{9!} = \dfrac{1}{14}\text{。}

所以正确答案是 B。

There are 55 odd and 44 even numbers. Each row and column must contain an odd number of odd entries.

The only way to place 55 odd entries with every row and column odd is to fill one complete row and one complete column (a plus shape of 3+3−1=53 + 3 - 1 = 5 cells). There are 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 such patterns.

Each pattern admits 5!5! placements of the odd numbers and 4!4! of the even numbers, so the probability is 9⋅5!⋅4!9!=114. \dfrac{9 \cdot 5! \cdot 4!}{9!} = \dfrac{1}{14}.

Thus, the correct answer is B.

第 15 题#15
完整试卷
第 17 题#17

其他年份的第 16 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B