Question

设 $g(x)$ 是首项系数为 $1$ 的多项式，它的三个根是 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 的三个根的倒数，其中 $1\lt a\lt b\lt c$ 。用 $a$ ， $b$ 和 $c$ 表示 $g(1)$ 是什么？

Let $g(x)$ be a polynomial with leading coefficient $1,$ whose three roots are the reciprocals of the three roots of $f(x)=x^3+ax^2+bx+c,$ where $1\lt a\lt b\lt c.$ What is $g(1)$ in terms of $a,$ $b,$ and $c?$

$\dfrac{1+a+b+c}{c}$

$1+a+b+c$

$\dfrac{1+a+b+c}{c^2}$

$\dfrac{a+b+c}{c^2}$

$\dfrac{1+a+b+c}{a+b+c}$

答案：A

知识点：韦达定理多项式

难度评级：1720

小提示：

若 $f$ 的根为 $r,s,t$ ，则 $g(1)=\left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right)\left(1-\tfrac1t\right)$

If $f$ has roots $r,s,t,$ then $g(1)=\left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right)\left(1-\tfrac1t\right)$

大提示：

这等于 $\dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst}$ ；把分子与 $f(1)$ 联系起来，把分母与 $c$ 联系起来

This equals $\dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst};$ relate the numerator to $f(1)$ and the denominator to $c$

解答：

设 $f$ 的根为 $r,s,t$ 。因为 $g$ 是首项系数为一、根为 $\tfrac1r,\tfrac1s,\tfrac1t$ 的多项式， $\begin{aligned} g(1) &= \left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1-\tfrac1t\right) \\ &= \dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst} \end{aligned}\text{。}$

现在 $f(1)=(1-r)(1-s)(1-t)$ $=1+a+b+c$ ，所以 $(r-1)(s-1)(t-1)$ $=-(1+a+b+c)$ 。另外 $rst=-c$ 。

因此 $g(1)$ $=\dfrac{-(1+a+b+c)}{-c}$ $=\dfrac{1+a+b+c}{c}$ 。

所以正确答案是 A。

Let $f$ have roots $r,s,t.$ Since $g$ is monic with roots $\tfrac1r,\tfrac1s,\tfrac1t,$ $\begin{aligned} g(1) &= \left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1-\tfrac1t\right) \\ &= \dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst}. \end{aligned}$

Now $f(1)=(1-r)(1-s)(1-t)$ $=1+a+b+c,$ so $(r-1)(s-1)(t-1)$ $=-(1+a+b+c).$ Also $rst=-c.$

Therefore $g(1)$ $=\dfrac{-(1+a+b+c)}{-c}$ $=\dfrac{1+a+b+c}{c}.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Spring 第 16 题

答案：A

难度评级：1720

小提示：

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