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1965 AMC 12 第 16 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

16.

设直线 ACAC 垂直于直线 CECE。连接 AA 与 CECE 的中点 DD，并连接 EE 与 ACAC 的中点 BB。若 ADAD 与 EBEB 相交于点 FF，且 BC=CD=15BC=CD=15 英寸，则三角形 DFEDFE 的面积（平方英寸）为：

Let line ACAC be perpendicular to line CE.CE. Connect AA to the midpoint DD of CE,CE, and connect EE to the midpoint BB of AC.AC. If ADAD and EBEB intersect in point F,F, and BC=CD=15BC=CD=15 inches, then the area of triangle DFE,DFE, in square inches, is:

5050

50250\sqrt2

7575

152105\dfrac{15}{2}\sqrt{105}

100100

答案：C
知识点：中线（几何）重心坐标几何三角形面积
难度评级：1830
小提示：

因为 B,DB,D 是中点且 BC=CD=15BC=CD=15， 所以两条直角边的长度均为 3030

Since B,DB,D are midpoints and BC=CD=15,BC=CD=15, both perpendicular legs have length 3030

大提示：

取坐标 C=(0,0),A=(0,30)C=(0,0), A=(0,30) 和 E=(30,0)E=(30,0)；两条中线交于重心

Use coordinates C=(0,0),A=(0,30)C=(0,0), A=(0,30) and E=(30,0)E=(30,0); the two medians meet at the centroid

解答：

取 C=(0,0), A=(0,30)C=(0,0),\ A=(0,30) 和 E=(30,0)E=(30,0)。则 B=(0,15)B=(0,15)，且 D=(15,0)D=(15,0)。直线 ADAD 和 EBEB 是三角形 ACEACE 的中线，所以它们交于重心 F=(10,10)F=(10,10)。线段 DEDE 长为 1515，点 FF 到其所在直线的距离为 1010。因此 [DFE]=12(15)(10)=75。[DFE]=\frac12(15)(10)=75\text{。}

因此，正确答案是 C。

Put C=(0,0), A=(0,30),C=(0,0),\ A=(0,30), and E=(30,0).E=(30,0). Then B=(0,15)B=(0,15) and D=(15,0).D=(15,0). Lines ADAD and EBEB are medians of triangle ACE,ACE, so they meet at the centroid F=(10,10).F=(10,10). Segment DEDE has length 1515 and FF is 1010 units above its line. Therefore [DFE]=12(15)(10)=75.[DFE]=\frac12(15)(10)=75.

Thus, the correct answer is C.

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