Question

一位密码学家设计了如下正整数编码方法。首先，将整数表示成 $5$ 进制。其次，建立 $1$ 对 $1$ 的对应关系，把 $5$ 进制表示中出现的数字与集合 $\{V,W,X,Y,Z\}$ 的元素对应起来。利用这一对应关系，密码学家发现，连续三个递增整数依次编码为 $VYZ$ 、 $VYX$ 、 $VVW$ 。用 $10$ 进制表示编码为 $XYZ$ 的整数，结果是多少？

A cryptographer devises the following method for encoding positive integers. First, the integer is expressed in base $5.$ Second, a $1$ -to- $1$ correspondence is established between the digits that appear in the expressions in base $5$ and the elements of the set $\{V,W,X,Y,Z\}.$ Using this correspondence, the cryptographer finds that three consecutive integers in increasing order are coded as $VYZ,$ $VYX,$ $VVW,$ respectively. What is the base- $10$ expression for the integer coded as $XYZ?$

$48$

$71$

$82$

$108$

$113$

答案：D

知识点：base representation carrying 双射

难度评级：1860

小提示：

比较 $VYZ$ 与 $VYX$ 的末位数字

Compare the final digits of $VYZ$ and $VYX$

大提示：

从 $VYX$ 变为 $VVW$ 时必定发生了 $5$ 进制进位

The change from $VYX$ to $VVW$ forces a base- $5$ carry

解答：

由于 $VYX$ 比 $VYZ$ 大一， $X$ 所对应的数字比 $Z$ 所对应的数字大一。下一次递增使 $VYX$ 变为 $VVW$ ，所以 $X=4,\ W=0$ 、 $Z=3$ 。进位使 $Y$ 变为 $V$ ，从而 $Y=1,\ V=2$ 。因此 $\begin{aligned} XYZ_5&=413_5,\\ 413_5&=4\cdot25+5+3\\ &=108 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Because $VYX$ is one more than $VYZ,$ the digit for $X$ is one more than the digit for $Z.$ The next increment changes $VYX$ to $VVW,$ so $X=4,\ W=0,$ and $Z=3.$ The carry changes $Y$ to $V,$ leaving $Y=1,\ V=2.$ Thus $\begin{aligned} XYZ_5&=413_5,\\ 413_5&=4\cdot25+5+3\\ &=108. \end{aligned}$

Thus the correct answer is D.

1987 AMC 12 第 16 题

答案：D

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题