Question

若三个互不相同的正数 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 满足 $\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}$ 则 $\frac{x}{y}=$

If $\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}$ for three positive numbers $x,$ $y,$ and $z,$ all different, then $\frac{x}{y}=$

$\frac12$

$\frac35$

$\frac23$

$\frac53$

$2$

答案：E

知识点：proportion algebraic system quadratic equation

难度评级：2000

小提示：

令 $r=\frac{x}{y}$ ，用中间的比值表示 $\frac{z}{y}$

Let $r=\frac{x}{y}$ and express $\frac{z}{y}$ using the middle ratio

大提示：

将 $\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}$ 代入第一个比值

Substitute $\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}$ into the first ratio

解答：

令 $r=\frac{x}{y}\gt0$ 。由 $\frac{x+y}{z}=r$ 得 $\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}$ 。于是 $\frac{y}{x-z} =\frac{1}{r-\frac{r+1}{r}} =r\text{。}$ 所以 $r^2-r-1=1$ ，即 $r^2-r-2=0$ 。因此 $r=2$ 或 $-1$ ，由正值条件得 $r=2$ 。

因此正确答案是 E。

Let $r=\frac{x}{y}\gt0.$ From $\frac{x+y}{z}=r,$ we get $\frac{z}{y}=\frac{r+1}{r}.$ Then $\frac{y}{x-z} =\frac{1}{r-\frac{r+1}{r}} =r.$ Thus $r^2-r-1=1,$ or $r^2-r-2=0.$ Hence $r=2$ or $-1,$ and positivity gives $r=2.$

Thus the correct answer is E.

1992 AMC 12 第 16 题

答案：E

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题