Question

令 $i=\sqrt{-1}$ 。对 $n\ge1$ ，按下式定义一个复数数列： $\begin{aligned} z_1&=0,\\ z_{n+1}&=z_n^2+i \end{aligned}\text{。}$ 在复平面中， $z_{111}$ 到原点的距离是多少？

Let $i=\sqrt{-1}.$ For $n\ge1,$ define a sequence of complex numbers by $\begin{aligned} z_1&=0,\\ z_{n+1}&=z_n^2+i. \end{aligned}$ In the complex plane, how far from the origin is $z_{111}?$

$1$

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$\sqrt{110}$

$\sqrt{2^{55}}$

答案：B

知识点：复数 recurrence periodic sequence modulus

难度评级：1960

小提示：

先计算数列的前几项，不要试图直接展开 $z_{111}$

Compute the first few terms rather than trying to expand $z_{111}$

大提示：

从 $z_3$ 开始寻找循环

Look for a cycle beginning with $z_3$

解答：

前几项为 $\begin{aligned} z_1&=0,\quad z_2=i,\quad z_3=-1+i,\\ z_4&=-i,\quad z_5=-1+i \end{aligned}\text{。}$ 因此从 $z_3$ 起，奇数下标项为 $-1+i$ ，偶数下标项为 $-i$ ，两者交替出现。所以 $z_{111}=-1+i$ ，它到原点的距离为 $\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2$ 。

因此正确答案是 B。

The first terms are $\begin{aligned} z_1&=0,\quad z_2=i,\quad z_3=-1+i,\\ z_4&=-i,\quad z_5=-1+i. \end{aligned}$ Hence the sequence alternates between $-1+i$ at odd indices and $-i$ at even indices from $z_3$ onward. Therefore $z_{111}=-1+i,$ whose distance from the origin is $\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2.$

Thus the correct answer is B.

1992 AMC 12 第 15 题

答案：B

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题