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2023 AMC 12B 第 15 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

设 aa，bb，和 cc 是正整数，满足

a14+b15=c210。 \frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}\text{。}

以下哪些陈述一定为真？

I. 如果 gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 或 gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1，或两者都成立，则 gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1。

II. 如果 gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1，则 gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 或 gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1，或两者都成立。

III. gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1 当且仅当 gcd⁡(a,14)=gcd⁡(b,15)=1\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1。

Suppose a,a, b,b, and cc are positive integers such that

a14+b15=c210. \frac{a}{14}+\frac{b}{15}=\frac{c}{210}.

Which of the following statements are necessarily true?

I. If gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 or gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1 or both, then gcd⁡(c,210)=1.\gcd(c,210)=1.

II. If gcd⁡(c,210)=1,\gcd(c,210)=1, then gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 or gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1 or both.

III. gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1 if and only if gcd⁡(a,14)=gcd⁡(b,15)=1.\gcd(a,14)=\gcd(b,15)=1.

I\mathrm{I}、II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III}

I,\mathrm{I}, II,\mathrm{II}, and III\mathrm{III}

只有 I\mathrm{I}

I\mathrm{I} only

只有 I\mathrm{I} 和 II\mathrm{II}

I\mathrm{I} and II\mathrm{II} only

只有 III\mathrm{III}

III\mathrm{III} only

只有 II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III}

II\mathrm{II} and III\mathrm{III} only

答案：E
知识点：最大公约数模运算逻辑推理
难度评级：1800
小提示：

清分母得到 c=15a+14bc=15a+14b，所以 c≡a(mod14)c\equiv a\pmod{14} 且 c≡−b(mod15)c\equiv -b\pmod{15}。

Clearing denominators gives c=15a+14b,c=15a+14b, so c≡a(mod14)c\equiv a\pmod{14} and c≡−b(mod15)c\equiv -b\pmod{15}

大提示：

因此 2,72,7 整除 cc 当且仅当它们整除 aa；而 3,53,5 整除 cc 当且仅当它们整除 bb。

Hence 2,72,7 divide cc iff they divide a,a, and 3,53,5 divide cc iff they divide bb

解答：

两边乘以 210210 得 c=15a+14bc=15a+14b。因为 15≡1(mod14)15\equiv 1\pmod{14}，得 c≡a(mod14)c\equiv a\pmod{14}，所以 gcd⁡(c,14)=1\gcd(c,14)=1 当且仅当 gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1。因为 14≡−1(mod15)14\equiv -1\pmod{15}，得 c≡−b(mod15)c\equiv -b\pmod{15}，所以 gcd⁡(c,15)=1\gcd(c,15)=1 当且仅当 gcd⁡(b,15)=1\gcd(b,15)=1。又因为 210=14⋅15210=14\cdot 15 且 gcd⁡(14,15)=1\gcd(14,15)=1，陈述 III 成立：gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1 当且仅当两者都成立。陈述 II 是 III 的正向推论，因此为真。陈述 I 为假：如果 gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 但 gcd⁡(b,15)≠1\gcd(b,15)\ne 1，则 gcd⁡(c,15)≠1\gcd(c,15)\ne 1，因而 gcd⁡(c,210)≠1\gcd(c,210)\ne 1。只有 II 和 III 为真。

因此，正确答案是 E。

Multiplying by 210210 gives c=15a+14b.c=15a+14b. Since 15≡1(mod14),15\equiv 1\pmod{14}, we get c≡a(mod14),c\equiv a\pmod{14}, so gcd⁡(c,14)=1\gcd(c,14)=1 iff gcd⁡(a,14)=1.\gcd(a,14)=1. Since 14≡−1(mod15),14\equiv -1\pmod{15}, we get c≡−b(mod15),c\equiv -b\pmod{15}, so gcd⁡(c,15)=1\gcd(c,15)=1 iff gcd⁡(b,15)=1.\gcd(b,15)=1. As 210=14⋅15210=14\cdot 15 with gcd⁡(14,15)=1,\gcd(14,15)=1, statement III follows: gcd⁡(c,210)=1\gcd(c,210)=1 iff both hold. Statement II is the forward implication of III, hence true. Statement I is false: if gcd⁡(a,14)=1\gcd(a,14)=1 but gcd⁡(b,15)≠1,\gcd(b,15)\ne 1, then gcd⁡(c,15)≠1,\gcd(c,15)\ne 1, so gcd⁡(c,210)≠1.\gcd(c,210)\ne 1. Only II and III are true.

Thus, the correct answer is E.

第 14 题#14
完整试卷
第 16 题#16

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