1981 AMC 12 第 15 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1981 AMC 12 第 15 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

若 $b\gt1$ 、 $x\gt0$ ，且 $(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0$ ，则 $x$ 为

If $b\gt1,$ $x\gt0,$ and $(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0,$ then $x$ is

$\frac1{216}$

$\frac16$

$1$

$6$

不能唯一确定

not uniquely determined

答案：B

知识点：对数指数换元法

难度评级：1860

小提示：

对两个相等的正数幂取以 $b$ 为底的对数

Take logarithms to base $b$ of the two equal positive powers

大提示：

令 $A=\log_b2$ 、 $B=\log_b3$ 、 $u=\log_bx$

Let $A=\log_b2,$ $B=\log_b3,$ and $u=\log_bx$

解答：

令 $A=\log_b2$ 、 $B=\log_b3$ 、 $u=\log_bx$ 。对等式两边取以 $b$ 为底的对数，得到 $A(A+u)=B(B+u)$ 。由于 $A\ne B$ ， $A+B+u=0\text{。}$ 因此 $u=-\log_b6=\log_b(\frac{1}{6})$ ，所以 $x=\frac{1}{6}$ 。

所以正确答案是 B。

Let $A=\log_b2,$ $B=\log_b3,$ and $u=\log_bx.$ Taking base- $b$ logarithms gives $A(A+u)=B(B+u).$ Since $A\ne B,$ $A+B+u=0.$ Therefore $u=-\log_b6=\log_b(\frac{1}{6}),$ so $x=\frac{1}{6}.$

Therefore, the correct answer is B.

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