Question

一名学生试图计算平均数 $A$ ，即 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的平均数。他先求 $x$ 与 $y$ 的平均数，再求所得结果与 $z$ 的平均数。只要 $x\lt y\lt z$ ，该学生最后得到的结果就

A student attempted to compute the average, $A,$ of $x,$ $y$ and $z$ by computing the average of $x$ and $y,$ and then computing the average of the result and $z.$ Whenever $x\lt y\lt z,$ the student’s final result is

正确

correct

总是小于 $A$

always less than $A$

总是大于 $A$

always greater than $A$

有时小于 $A$ ，有时等于 $A$

sometimes less than $A$ and sometimes equal to $A$

有时大于 $A$ ，有时等于 $A$

sometimes greater than $A$ and sometimes equal to $A$

答案：C

知识点：average 不等式 algebraic comparison

难度评级：1420

小提示：

分别写出正确的平均数和该学生所得结果的代数式

Write both the true average and the student’s result as algebraic expressions

大提示：

用该学生的结果减去正确的平均数，并利用 $x\lt y\lt z$ 判断差的正负

Subtract the true average and use the order $x\lt y\lt z$ to determine the sign

解答：

该学生得到的结果为 $\frac{x+y+2z}{4}$ ，正确的平均数为 $\frac{x+y+z}{3}$ 。两者之差为 $\begin{aligned} &\frac{x+y+2z}{4}-\frac{x+y+z}{3}\\ &\qquad=\frac{2z-x-y}{12}\text{。} \end{aligned}$ 由于 $z\gt x$ ，且 $z\gt y$ ，分子为正。因此，该学生的结果总是大于 $A$ 。

所以正确答案是 C。

The student’s result is $\frac{x+y+2z}{4},$ while the true average is $\frac{x+y+z}{3}.$ Their difference is $\begin{aligned} &\frac{x+y+2z}{4}-\frac{x+y+z}{3}\\ &\qquad=\frac{2z-x-y}{12}. \end{aligned}$ Since $z\gt x$ and $z\gt y,$ the numerator is positive. The student’s result is therefore always greater than $A.$

Thus the correct answer is C.

1986 AMC 12 第 15 题

答案：C

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题