Question

如果一个数集满足：只要 $x$ 和 $y$ 是该集合中的元素（不要求互不相同）， $x + y$ 就不是该集合中的元素，则称这个数集为无和集。例如， $\{1, 4, 6\}$ 和空集是无和集，但 $\{2, 4, 5\}$ 不是。从 $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ 中取出的无和子集最多可以有多少个元素？

A set of numbers is called sum-free if whenever $x$ and $y$ are (not necessarily distinct) elements of the set, $x + y$ is not an element of the set. For example, $\{1, 4, 6\}$ and the empty set are sum-free, but $\{2, 4, 5\}$ is not. What is the greatest possible number of elements in a sum-free subset of $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

答案：C

知识点：子集极端原理

难度评级：1800

小提示：

集合 $\{11, 12, \ldots, 20\}$ 是无和集

The set $\{11, 12, \ldots, 20\}$ is sum-free

大提示：

若 $a_1 \lt \cdots \lt a_k$ 都在 $S$ 中，则差 $a_k - a_i$ 都不在 $S$ 中，从而迫使 $2k - 1 \le 20$ 。

If $a_1 \lt \cdots \lt a_k$ are in $S,$ the differences $a_k - a_i$ are not in $S,$ forcing $2k - 1 \le 20$

解答：

集合 $\{11, 12, \ldots, 20\}$ 有 $10$ 个元素，并且是无和集，因为其中任意两个元素之和至少为 $22 \gt 20$ 。

为了证明上界，设 $a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k$ 是一个无和子集。对每个 $i \lt k$ ，差 $a_k - a_i$ 不能在 $S$ 中，因为若在，则 $(a_k - a_i) + a_i = a_k \in S$ ，违反无和性。

这 $k - 1$ 个差互不相同，属于 $\{1, \ldots, 19\}$ ，并且与 $S$ 的 $k$ 个元素不相交。所以 $k + (k - 1) \le 20$ ，得到 $k \le 10$ 。

因此，正确答案是 C。

The set $\{11, 12, \ldots, 20\}$ has $10$ elements and is sum-free, since any two elements sum to at least $22 \gt 20.$

For the upper bound, let $a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_k$ be a sum-free subset. Each difference $a_k - a_i$ for $i \lt k$ cannot lie in $S,$ because $(a_k - a_i) + a_i = a_k \in S$ would violate sum-freeness.

These $k - 1$ differences are distinct, lie in $\{1, \ldots, 19\},$ and are disjoint from the $k$ elements of $S.$ So $k + (k - 1) \le 20,$ giving $k \le 10.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A 第 15 题

答案：C

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题