Question

在圆心为 $O$ 、半径为 $r$ 的圆中，作弦 $AB$ ，其长度为 $r$ 个单位。从 $O$ 向 $AB$ 作垂线，交 $AB$ 于 $M$ 。从 $M$ 向 $OA$ 作垂线，交 $OA$ 于 $D$ 。用 $r$ 表示，三角形 $MDA$ 的面积为：

In a circle with center at $O$ and radius $r,$ chord $AB$ is drawn with length equal to $r$ units. From $O$ a perpendicular to $AB$ meets $AB$ at $M.$ From $M$ a perpendicular to $OA$ meets $OA$ at $D.$ In terms of $r,$ the area of triangle $MDA,$ in appropriate square units, is:

$\dfrac{3r^2}{16}$

$\dfrac{\pi r^2}{16}$

$\dfrac{\pi r^2\sqrt2}{8}$

$\dfrac{r^2\sqrt3}{32}$

$\dfrac{r^2\sqrt6}{48}$

答案：D

知识点：弦等边三角形特殊直角三角形三角形面积

难度评级：1720

小提示：

因为 $OA=OB=AB=r$ ，三角形 $OAB$ 为等边三角形

Because $OA=OB=AB=r,$ triangle $OAB$ is equilateral

大提示：

利用两个 $30$ - $60$ - $90$ 三角形求 $AD$ 与 $MD$

Use the two $30$ - $60$ - $90$ triangles to find $AD$ and $MD$

解答：

三角形 $OAB$ 为等边三角形。因为 $OM\perp AB$ ，所以 $M$ 是 $AB$ 的中点，从而 $AM=\frac{r}{2}$ 且 $\angle OAM=60^\circ$ 。在直角三角形 $AMD$ 中，斜边为 $AM=\frac{r}{2}$ ，所以 $AD=\frac r4,\qquad MD=\frac{r\sqrt3}{4}\text{。}$ 因此 $\begin{aligned} [MDA]&=\frac12(AD)(MD)\\ &=\frac{r^2\sqrt3}{32} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Triangle $OAB$ is equilateral. Since $OM\perp AB,$ $M$ is the midpoint of $AB,$ so $AM=\frac{r}{2}$ and $\angle OAM=60^\circ.$ In right triangle $AMD,$ the hypotenuse is $AM=\frac{r}{2},$ giving $AD=\frac r4,\qquad MD=\frac{r\sqrt3}{4}.$ Hence $\begin{aligned} [MDA]&=\frac12(AD)(MD)\\ &=\frac{r^2\sqrt3}{32}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

1969 AMC 12 第 15 题

答案：D

难度评级：1720

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题