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2017 AMC 12B 第 15 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

设 ABCABC 是等边三角形。将边 AB‾\overline{AB} 从 BB 向外延长到点 B′B'，使 BB′=3⋅ABBB' = 3 \cdot AB。同样地，将边 BC‾\overline{BC} 从 CC 向外延长到点 C′C'，使 CC′=3⋅BCCC' = 3 \cdot BC，并将边 CA‾\overline{CA} 从 AA 向外延长到点 A′A'，使 AA′=3⋅CAAA' = 3 \cdot CA。△A′B′C′\triangle A'B'C' 的面积与 △ABC\triangle ABC 的面积之比是多少？

Let ABCABC be an equilateral triangle. Extend side AB‾\overline{AB} beyond BB to a point B′B' so that BB′=3⋅AB.BB' = 3 \cdot AB. Similarly, extend side BC‾\overline{BC} beyond CC to a point C′C' so that CC′=3⋅BC,CC' = 3 \cdot BC, and extend side CA‾\overline{CA} beyond AA to a point A′A' so that AA′=3⋅CA.AA' = 3 \cdot CA. What is the ratio of the area of △A′B′C′\triangle A'B'C' to the area of △ABC?\triangle ABC?

9:19 : 1

16:116 : 1

25:125 : 1

36:136 : 1

37:137 : 1

答案：E
知识点：面积比面积分割等边三角形
难度评级：1660
小提示：

设 △ABC\triangle ABC 的面积为 XX。作 CB′CB'，AC′AC'，BA′BA'，把 △A′B′C′\triangle A'B'C' 分成若干部分

Let XX be the area of △ABC.\triangle ABC. Draw CB′,CB', AC′,AC', BA′BA' to split △A′B′C′\triangle A'B'C' into pieces

大提示：

底边为 kk 倍且高相同的三角形面积为 kk 倍；把每一部分表示为 XX 的倍数

A triangle with kk times the base and the same height has kk times the area; find each piece as a multiple of XX

解答：

令 X=[△ABC]X = [\triangle ABC]，并作线段 CB′CB'、AC′AC' 和 BA′BA'。三角形 BB′CBB'C 的底边 BB′=3⋅ABBB' = 3 \cdot AB，且从 CC 到直线 ABAB 的高与 △ABC\triangle ABC 相同，所以面积为 3X3X；同理，△CC′A\triangle CC'A 和 △AA′B\triangle AA'B 的面积也各为 3X3X。接着，△AA′C′\triangle AA'C' 与 △ACC′\triangle ACC' 高相同，而前者的底边为后者的 33 倍，所以面积为 9X9X；同理，△CC′B′\triangle CC'B' 和 △BB′A′\triangle BB'A' 的面积也各为 9X9X。因此 [△A′B′C′]=X+3(3X)+3(9X)=37X， \begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X\text{，} \end{aligned} 所以面积比为 37:137 : 1。

所以正确答案是 E。

Let X=[△ABC],X = [\triangle ABC], and draw segments CB′,CB', AC′,AC', and BA′.BA'. Triangle BB′CBB'C has base BB′=3⋅ABBB' = 3 \cdot AB and the same altitude as △ABC\triangle ABC from CC to line AB,AB, so its area is 3X;3X; likewise △CC′A\triangle CC'A and △AA′B\triangle AA'B each have area 3X.3X. Next, △AA′C′\triangle AA'C' has 33 times the base and the same height as △ACC′,\triangle ACC', so its area is 9X;9X; similarly △CC′B′\triangle CC'B' and △BB′A′\triangle BB'A' each have area 9X.9X. Thus [△A′B′C′]=X+3(3X)+3(9X)=37X, \begin{aligned} &[\triangle A'B'C'] = X \\ &\quad {}+ 3(3X) + 3(9X) \\ &\quad {}= 37X, \end{aligned} so the ratio is 37:1.37 : 1.

Thus, the correct answer is E.

第 14 题#14
完整试卷
第 16 题#16

其他年份的第 15 题

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