Question

正八边形 $ABCDEFGH$ 的面积为一平方单位。长方形 $ABEF$ 的面积是多少？

A regular octagon $ABCDEFGH$ has an area of one square unit. What is the area of the rectangle $ABEF?$

$1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\sqrt{2} - 1$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1 + \sqrt{2}}{4}$

答案：D

知识点：正多边形面积分割对称性

难度评级：1740

小提示：

设 $O$ 为八边形中心，也就是对角线 $AE$ 的中点

Let $O$ be the center of the octagon, which is the midpoint of diagonal $AE$

大提示：

$\triangle AOB$ 是从中心分出的八个三角形之一，所以面积为 $\dfrac{1}{8}$

$\triangle AOB$ is one of the eight triangles from the center, so it has area $\dfrac{1}{8}$

解答：

设 $O$ 为八边形中心。连接 $O$ 与各顶点，把八边形分成 $8$ 个全等三角形，所以 $\triangle AOB$ 的面积为 $\dfrac{1}{8}$ 。

因为 $O$ 是 $\overline{AE}$ 的中点，三角形 $AOB$ 和 $BOE$ 面积相等，所以 $\triangle ABE$ 的面积为 $\dfrac{1}{4}$ 。

长方形 $ABEF$ 被对角线 $\overline{BE}$ 分成两个全等三角形，所以 $\triangle ABE$ 是它的一半。因此 $ABEF$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $O$ be the center of the octagon. Joining $O$ to the vertices splits the octagon into $8$ congruent triangles, so $\triangle AOB$ has area $\dfrac{1}{8}.$

Since $O$ is the midpoint of $\overline{AE},$ triangles $AOB$ and $BOE$ have equal areas, so $\triangle ABE$ has area $\dfrac{1}{4}.$

The rectangle $ABEF$ is split by diagonal $\overline{BE}$ into two congruent triangles, so $\triangle ABE$ is half of it. Hence $ABEF$ has area $\dfrac{1}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12B 第 15 题

答案：D

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题