Question

有多少个 $3$ 位正奇数是 $3$ 的倍数，且不含数字 $3$ ？

How many $3$ -digit positive odd multiples of $3$ do not include the digit $3?$

$96$

$97$

$98$

$102$

$120$

答案：A

知识点：数字整除性乘法原理

难度评级：1930

小提示：

先选择百位数字（不能是 $0$ 或 $3$ ）和个位数字（奇数且不是 $3$ ）。

Choose the hundreds digit (not $0$ or $3$ ) and the units digit (odd, not $3$ ) first

大提示：

对每个这样的百位、个位组合，允许的十位数字在模 $3$ 的三个剩余类中平均分布。

For each such pair, the allowed tens digits split evenly into three residue classes mod $3$

解答：

写作 $\overline{abc}$ 。百位数字 $a$ 有 $8$ 种选择（ $1,2,4,5,6,7,8,9$ ），个位数字 $c$ 有 $4$ 种选择（ $1,5,7,9$ ）。

十位数字 $b$ 可为 $\{0,1,2,4,5,6,7,8,9\}$ 。这些数字按模 $3$ 分成三个大小相等的剩余类 $\{0,6,9\},\{1,4,7\},\{2,5,8\}$ ，所以恰有 $3$ 个 $b$ 使 $a+b+c$ 能被 $3$ 整除。

总数为 $8\cdot4\cdot3=96$ 。

所以正确答案是 A。

Write the number as $\overline{abc}.$ The hundreds digit $a$ has $8$ choices ( $1,2,4,5,6,7,8,9$ ), and the units digit $c$ has $4$ choices ( $1,5,7,9$ ).

The tens digit $b$ may be any of $\{0,1,2,4,5,6,7,8,9\}.$ These split into three residue classes mod $3$ of equal size $\{0,6,9\},\{1,4,7\},\{2,5,8\},$ so exactly $3$ choices of $b$ make $a+b+c$ divisible by $3.$

The count is $8\cdot4\cdot3=96.$

Thus, the correct answer is A.

2018 AMC 12B 第 15 题

答案：A

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题