2009 AMC 12A 第 15 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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2009 AMC 12A 第 15 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

15.

当

n

取什么值时，

\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i \end{aligned}\text{？}

注：这里

i = \sqrt{-1}

。

For what value of

n

is

\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i? \end{aligned}

Note: here

i = \sqrt{-1}.

24

48

49

97

98

答案：D

知识点：复数配对与分组

难度评级：2010

小提示：

把项按连续四个

i

的幂为一组来分组。

Group the terms in blocks of four consecutive powers of

i

大提示：

当

k

是

4

的倍数时，每一组

(k + 1)i^{k+1} + \cdots + (k + 4)i^{k+4}

等于

2 - 2i

。

Each block

(k + 1)i^{k+1} + \cdots + (k + 4)i^{k+4}

with

k

a multiple of

4

equals

2 - 2i

解答：

对于

4

的倍数

k

\begin{aligned} &(k + 1)i^{k+1} + (k + 2)i^{k+2} \\ &\quad {}+ (k + 3)i^{k+3} + (k + 4)i^{k+4} \\ &= (k + 1)i - (k + 2) \\ &\quad {}- (k + 3)i + (k + 4) \\ &= 2 - 2i \end{aligned}\text{。}

前

96

项，也就是

24

组，和为

24(2 - 2i) = 48 - 48i

。

再加下一项

97i^{97} = 97i

得到

48 - 48i + 97i = 48 + 49i

。所以

n = 97

。

因此，正确答案是 D。

For

k

a multiple of

4,

\begin{aligned} &(k + 1)i^{k+1} + (k + 2)i^{k+2} \\ &\quad {}+ (k + 3)i^{k+3} + (k + 4)i^{k+4} \\ &= (k + 1)i - (k + 2) \\ &\quad {}- (k + 3)i + (k + 4) \\ &= 2 - 2i. \end{aligned}

Summing the first

96

terms (that is

24

blocks) gives

24(2 - 2i) = 48 - 48i.

Adding the next term

97i^{97} = 97i

yields

48 - 48i + 97i = 48 + 49i.

So

n = 97.

Thus, the correct answer is D.

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