Question

当 $n$ 取什么值时， $\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i \end{aligned}\text{？}$ 注：这里 $i = \sqrt{-1}$ 。

For what value of $n$ is $\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i? \end{aligned}$ Note: here $i = \sqrt{-1}.$

$24$

$48$

$49$

$97$

$98$

答案：D

知识点：复数配对与分组

难度评级：2010

小提示：

把项按连续四个 $i$ 的幂为一组来分组。

Group the terms in blocks of four consecutive powers of $i$

大提示：

当 $k$ 是 $4$ 的倍数时，每一组 $(k + 1)i^{k+1} + \cdots + (k + 4)i^{k+4}$ 等于 $2 - 2i$ 。

Each block $(k + 1)i^{k+1} + \cdots + (k + 4)i^{k+4}$ with $k$ a multiple of $4$ equals $2 - 2i$

解答：

对于 $4$ 的倍数 $k$ $\begin{aligned} &(k + 1)i^{k+1} + (k + 2)i^{k+2} \\ &\quad {}+ (k + 3)i^{k+3} + (k + 4)i^{k+4} \\ &= (k + 1)i - (k + 2) \\ &\quad {}- (k + 3)i + (k + 4) \\ &= 2 - 2i \end{aligned}\text{。}$

前 $96$ 项，也就是 $24$ 组，和为 $24(2 - 2i) = 48 - 48i$ 。

再加下一项 $97i^{97} = 97i$ 得到 $48 - 48i + 97i = 48 + 49i$ 。所以 $n = 97$ 。

因此，正确答案是 D。

For $k$ a multiple of $4,$ $\begin{aligned} &(k + 1)i^{k+1} + (k + 2)i^{k+2} \\ &\quad {}+ (k + 3)i^{k+3} + (k + 4)i^{k+4} \\ &= (k + 1)i - (k + 2) \\ &\quad {}- (k + 3)i + (k + 4) \\ &= 2 - 2i. \end{aligned}$

Summing the first $96$ terms (that is $24$ blocks) gives $24(2 - 2i) = 48 - 48i.$

Adding the next term $97i^{97} = 97i$ yields $48 - 48i + 97i = 48 + 49i.$ So $n = 97.$

Thus, the correct answer is D.

2009 AMC 12A 第 15 题

答案：D

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题