2009 AMC 12A 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Kim 的航班上午 $10{:}34$ 从 Newark 起飞，下午 $1{:}18$ 在 Miami 降落。两个城市在同一时区。如果她的飞行时间为 $h$ 小时 $m$ 分钟，其中 $0 \le m \lt 60$ ，那么 $h + m$ 是多少？

Kim’s flight took off from Newark at $10{:}34$ am and landed in Miami at $1{:}18$ pm. Both cities are in the same time zone. If her flight took $h$ hours and $m$ minutes, with $0 \le m \lt 60,$ what is $h + m?$

$46$

$47$

$50$

$53$

$54$

知识点：日期与时间时钟

难度评级：730

小提示：

先从上午 $10{:}34$ 数到上午 $11{:}00$ ，再继续往后数。

Count the minutes from $10{:}34$ am up to $11{:}00$ am, then continue from there

大提示：

飞行时间是 $2$ 小时加上 $26 + 18$ 分钟。

The flight lasts $2$ hours and $26 + 18$ minutes

解答：

从上午 $10{:}34$ 到上午 $11{:}00$ 是 $26$ 分钟，从上午 $11{:}00$ 到下午 $1{:}00$ 是 $2$ 小时，从下午 $1{:}00$ 到下午 $1{:}18$ 是 $18$ 分钟。

所以飞行时间为 $2$ 小时 $26 + 18 = 44$ 分钟。因此 $h = 2$ ， $m = 44$ ，且 $h + m = 46$ 。

因此，正确答案是 A。

From $10{:}34$ am to $11{:}00$ am is $26$ minutes, from $11{:}00$ am to $1{:}00$ pm is $2$ hours, and from $1{:}00$ pm to $1{:}18$ pm is $18$ minutes.

So the flight lasted $2$ hours and $26 + 18 = 44$ minutes. Thus $h = 2,$ $m = 44,$ and $h + m = 46.$

Thus, the correct answer is A.

2.

下列哪一项等于 $1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + 1}}\text{？}$

Which of the following is equal to $1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + 1}}?$

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

$3$

知识点：连分数分数

难度评级：860

小提示：

从最里面的分数向外计算。

Work outward from the innermost fraction

大提示：

先化简 $1 + \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{3}{2}$ ，再取它的倒数。

First simplify $1 + \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{3}{2},$ then take its reciprocal

解答：

从里面开始， $1 + 1 = 2$ ，所以 $1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ 。然后 $\dfrac{1}{\frac{3}{2}} = \dfrac{2}{3}$ ，且 $1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$ 。

因此，正确答案是 C。

Starting inside, $1 + 1 = 2,$ so $1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.$ Then $\dfrac{1}{\frac{3}{2}} = \dfrac{2}{3},$ and $1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

3.

从 $\dfrac{1}{4}$ 到 $\dfrac{3}{4}$ 的三分之一处是哪一个数？

What number is one third of the way from $\dfrac{1}{4}$ to $\dfrac{3}{4}?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{2}{3}$

知识点：分数比与比例

难度评级：1050

小提示：

从 $\dfrac{1}{4}$ 到 $\dfrac{3}{4}$ 的距离是 $\dfrac{1}{2}$ 。

The distance from $\dfrac{1}{4}$ to $\dfrac{3}{4}$ is $\dfrac{1}{2}$

大提示：

把这段距离的三分之一加到 $\dfrac{1}{4}$ 上。

Add one third of that distance to $\dfrac{1}{4}$

解答：

间距是 $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ 。走三分之一处就是加上 $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$ 。

所以这个数是 $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$ 。

因此，正确答案是 B。

The gap is $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}.$ One third of the way adds $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}.$

So the number is $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}.$

Thus, the correct answer is B.

4.

从一个存钱罐中取出四枚硬币，存钱罐里有若干一分、五分、十分和二十五分硬币。以下哪一个不可能是这四枚硬币的总价值（单位：分）？

Four coins are picked out of a piggy bank that contains a collection of pennies, nickels, dimes, and quarters. Which of the following could not be the total value of the four coins, in cents?

$15$

$25$

$35$

$45$

$55$

知识点：钱币倍数分类讨论

难度评级：1200

小提示：

如果选出的硬币中至少有一枚一分硬币，总额就不可能是 $5$ 的倍数。

A selection that includes at least one penny cannot total a multiple of $5$

大提示：

如果没有一分硬币，那么这四枚硬币每枚都至少值 $5$ 分。

Without a penny, all four coins are worth at least $5$ cents each

解答：

如果四枚硬币中有一分硬币，总额不是 $5$ 的倍数，所以不可能等于列出的五个 $5$ 的倍数。如果没有一分硬币，每枚硬币至少值 $5$ 分，所以总额至少是 $20$ 分。无论哪种情况， $15$ 都不可能。

其他数额都能达到： $25 = 10 + 5 + 5 + 5$ ， $35 = 10 + 10 + 10 + 5$ ， $45 = 25 + 10 + 5 + 5$ ，且 $55 = 25 + 10 + 10 + 10$ 。

因此，正确答案是 A。

If the four coins include a penny, the total is not a multiple of $5,$ so it cannot equal any of the five listed multiples of $5.$ If there is no penny, every coin is worth at least $5$ cents, so the total is at least $20$ cents. Either way, $15$ is impossible.

The other amounts are attainable: $25 = 10 + 5 + 5 + 5,$ $35 = 10 + 10 + 10 + 5,$ $45 = 25 + 10 + 5 + 5,$ and $55 = 25 + 10 + 10 + 10.$

Thus, the correct answer is A.

5.

一个立方体的一个维度增加 $1$ ，另一个维度减少 $1$ ，第三个维度保持不变。新的长方体体积比原立方体体积少 $5$ 。原立方体的体积是多少？

One dimension of a cube is increased by $1,$ another is decreased by $1,$ and the third is left unchanged. The volume of the new rectangular solid is $5$ less than that of the cube. What was the volume of the cube?

$8$

$27$

$64$

$125$

$216$

知识点：体积平方差

难度评级：1100

小提示：

设立方体边长为 $x$ ，并把新体积写成一个乘积。

Let the cube have side length $x$ and write the new volume as a product

大提示：

新长方体的体积为 $x(x+1)(x-1) = x^3 - x$ 。

The new solid has volume $x(x+1)(x-1) = x^3 - x$

解答：

设立方体边长为 $x$ 。新长方体的三个维度是 $x + 1$ ， $x - 1$ ，和 $x$ ，因此体积为 $x(x+1)(x-1) = x^3 - x$ 。

令它等于 $x^3 - 5$ 得 $x^3 - x = x^3 - 5$ ，所以 $x = 5$ 。

立方体体积是 $5^3 = 125$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the cube have side length $x.$ The new solid has dimensions $x + 1,$ $x - 1,$ and $x,$ so its volume is $x(x+1)(x-1) = x^3 - x.$

Setting this equal to $x^3 - 5$ gives $x^3 - x = x^3 - 5,$ so $x = 5.$

The cube’s volume is $5^3 = 125.$

Thus, the correct answer is D.

6.

假设 $P = 2^m$ 且 $Q = 3^n$ 。对每一对整数 $(m, n)$ ，下列哪一个都等于 $12^{mn}$ ？

Suppose that $P = 2^m$ and $Q = 3^n.$ Which of the following is equal to $12^{mn}$ for every pair of integers $(m, n)?$

$P^2 Q$

$P^n Q^m$

$P^n Q^{2m}$

$P^{2m} Q^n$

$P^{2n} Q^m$

知识点：指数换元法

难度评级：1290

小提示：

写成 $12 = 2^2 \cdot 3$ 。

Write $12 = 2^2 \cdot 3$

大提示：

那么 $12^{mn} = 2^{2mn} \cdot 3^{mn}$ $= (2^m)^{2n}(3^n)^m$ 。

Then $12^{mn} = 2^{2mn} \cdot 3^{mn}$ $= (2^m)^{2n}(3^n)^m$

解答：

因为 $12 = 2^2 \cdot 3$ ， $\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n}(3^n)^m \\ &= P^{2n}Q^m \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Since $12 = 2^2 \cdot 3,$ $\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n}(3^n)^m \\ &= P^{2n}Q^m. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

7.

一个等差数列的前三项分别是 $2x - 3$ 、 $5x - 11$ 和 $3x + 1$ 。这个数列的第 $n$ 项是 $2009$ 。求 $n$ ？

The first three terms of an arithmetic sequence are $2x - 3,$ $5x - 11,$ and $3x + 1$ respectively. The $n$ th term of the sequence is $2009.$ What is $n?$

$255$

$502$

$1004$

$1506$

$8037$

知识点：等差数列

难度评级：1250

小提示：

相邻两项的差相等： $(5x - 11) - (2x - 3)$ $= (3x + 1) - (5x - 11)$ 。

Consecutive differences are equal: $(5x - 11) - (2x - 3)$ $= (3x + 1) - (5x - 11)$

大提示：

先求出 $x$ ，再找到首项和公差。

Solve for $x,$ then find the first term and common difference

解答：

相邻差相等给出 $(5x - 11) - (2x - 3)$ $= (3x + 1) - (5x - 11)$ ，即 $3x - 8 = -2x + 12$ ，所以 $x = 4$ 。

前三项是 $5, 9, 13$ ，公差为 $4$ 。

第 $n$ 项满足 $2009 = 5 + (n - 1)\cdot 4$ ，所以 $n - 1 = 501$ ，从而 $n = 502$ 。

因此，正确答案是 B。

Equal consecutive differences give $(5x - 11) - (2x - 3)$ $= (3x + 1) - (5x - 11),$ that is $3x - 8 = -2x + 12,$ so $x = 4.$

The first three terms are $5, 9, 13,$ with common difference $4.$

The $n$ th term satisfies $2009 = 5 + (n - 1)\cdot 4,$ so $n - 1 = 501$ and $n = 502.$

Thus, the correct answer is B.

8.

如图放置四个全等的长方形。外部正方形的面积是内部正方形面积的 $4$ 倍。每个长方形较长边与较短边的长度之比是多少？

Four congruent rectangles are placed as shown. The area of the outer square is $4$ times that of the inner square. What is the ratio of the length of the longer side of each rectangle to the length of its shorter side?

$3$

$\sqrt{10}$

$2 + \sqrt{2}$

$2\sqrt{3}$

$4$

知识点：面积比正方形（几何）方程组

难度评级：1410

小提示：

设每个长方形较短边为 $x$ ，较长边为 $y$ 。

Let each rectangle have shorter side $x$ and longer side $y$

大提示：

外部正方形边长为 $x + y$ ，内部正方形边长为 $y - x$ ，它们的边长比为 $\sqrt{4} = 2$ 。

The outer square has side $x + y,$ the inner square has side $y - x,$ and their side ratio is $\sqrt{4} = 2$

解答：

设这些长方形的较短边为 $x$ ，较长边为 $y$ 。外部正方形边长是 $x + y$ ，内部正方形边长是 $y - x$ 。

因为外部面积是内部面积的 $4$ 倍，边长比是 $\sqrt{4} = 2$ ，所以 $x + y = 2(y - x)$ 。

这给出 $y = 3x$ ，因此长边与短边之比为 $3$ 。

因此，正确答案是 A。

Let the rectangles have shorter side $x$ and longer side $y.$ The outer square has side $x + y$ and the inner square has side $y - x.$

Since the outer area is $4$ times the inner area, the side ratio is $\sqrt{4} = 2,$ so $x + y = 2(y - x).$

This gives $y = 3x,$ so the ratio of longer to shorter side is $3.$

Thus, the correct answer is A.

9.

假设 $f(x + 3) = 3x^2 + 7x + 4$ ，且 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 。求 $a + b + c$ ？

Suppose that $f(x + 3) = 3x^2 + 7x + 4$ and $f(x) = ax^2 + bx + c.$ What is $a + b + c?$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$3$

知识点：函数换元法

难度评级：1350

小提示：

$a + b + c = f(1)$ 。

$a + b + c = f(1)$

大提示：

写成 $1 = (-2) + 3$ ，并使用给出的 $f(x + 3)$ 公式。

Write $1 = (-2) + 3$ and use the given formula for $f(x + 3)$

解答：

注意 $a + b + c = f(1)$ 。

在 $f(x + 3) = 3x^2 + 7x + 4$ 中取 $x = -2$ 得 $\begin{aligned} f(1) &= f(-2 + 3) \\ &= 3(-2)^2 + 7(-2) + 4 \\ &= 12 - 14 + 4 = 2 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Note that $a + b + c = f(1).$

Using $f(x + 3) = 3x^2 + 7x + 4$ with $x = -2$ gives $\begin{aligned} f(1) &= f(-2 + 3) \\ &= 3(-2)^2 + 7(-2) + 4 \\ &= 12 - 14 + 4 = 2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

10.

在四边形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ ， $BC = 17$ ， $CD = 5$ ， $DA = 9$ ，且 $BD$ 是整数。求 $BD$ ？

In quadrilateral $ABCD,$ $AB = 5,$ $BC = 17,$ $CD = 5,$ $DA = 9,$ and $BD$ is an integer. What is $BD?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

知识点：三角不等式极限情形界定

难度评级：1500

小提示：

对 $\triangle BCD$ 和 $\triangle ABD$ 使用三角形不等式。

Apply the triangle inequality to $\triangle BCD$ and $\triangle ABD$

大提示：

由 $\triangle BCD$ ， $BD \gt 12$ ，由 $\triangle ABD$ ， $BD \lt 14$ 。

From $\triangle BCD,$ $BD \gt 12,$ and from $\triangle ABD,$ $BD \lt 14$

解答：

在 $\triangle BCD$ 中，三角形不等式给出 $BD + CD \gt BC$ ，所以 $BD + 5 \gt 17$ ，即 $BD \gt 12$ 。

在 $\triangle ABD$ 中， $AB + DA \gt BD$ ，所以 $BD \lt 5 + 9 = 14$ 。

唯一满足 $12 \lt BD \lt 14$ 的整数是 $13$ 。

因此，正确答案是 C。

In $\triangle BCD,$ the triangle inequality gives $BD + CD \gt BC,$ so $BD + 5 \gt 17$ and $BD \gt 12.$

In $\triangle ABD,$ $AB + DA \gt BD,$ so $BD \lt 5 + 9 = 14.$

The only integer with $12 \lt BD \lt 14$ is $13.$

Thus, the correct answer is C.

11.

图中的 $F_1$ ， $F_2$ ， $F_3$ ，和 $F_4$ 是一个图形序列的前几项。对于 $n \ge 3$ ， $F_n$ 由 $F_{n-1}$ 构造而来：在它周围加一个正方形，并且在新正方形的每一边上，比 $F_{n-1}$ 外部正方形的每一边多放一个菱形。例如，图形 $F_3$ 有 $13$ 个菱形。图形 $F_{20}$ 中有多少个菱形？

The figures $F_1,$ $F_2,$ $F_3,$ and $F_4$ shown are the first in a sequence of figures. For $n \ge 3,$ $F_n$ is constructed from $F_{n-1}$ by surrounding it with a square and placing one more diamond on each side of the new square than $F_{n-1}$ had on each side of its outside square. For example, figure $F_3$ has $13$ diamonds. How many diamonds are there in figure $F_{20}?$

$401$

$485$

$585$

$626$

$761$

知识点：等差数列求和

难度评级：1630

小提示：

$F_n$ 的外部正方形上有 $4(n - 1)$ 个菱形。

The outside square of $F_n$ has $4(n - 1)$ diamonds

大提示：

把所有层相加， $F_n$ 有 $1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big)$ 个菱形。

Summing over all rings, $F_n$ has $1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big)$ diamonds

解答：

$F_n$ 的外部正方形比 $F_{n-1}$ 的外部正方形多 $4$ 个菱形，而 $F_2$ 的外部正方形有 $4$ 个菱形，所以 $F_n$ 的外部正方形有 $4(n - 1)$ 个菱形。

把所有层相加， $\begin{gathered} 1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big) \\ = 1 + 4\cdot\frac{(n - 1)n}{2} \\ = 1 + 2(n - 1)n \end{gathered}\text{。}$

当 $n = 20$ 时，它等于 $1 + 2\cdot 19\cdot 20 = 761$ 。

因此，正确答案是 E。

The outside square of $F_n$ has $4$ more diamonds than that of $F_{n-1},$ and the outside square of $F_2$ has $4,$ so the outside square of $F_n$ has $4(n - 1)$ diamonds.

Adding all the rings, $\begin{gathered} 1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big) \\ = 1 + 4\cdot\frac{(n - 1)n}{2} \\ = 1 + 2(n - 1)n. \end{gathered}$

For $n = 20,$ this is $1 + 2\cdot 19\cdot 20 = 761.$

Thus, the correct answer is E.

12.

小于 $1000$ 的正整数中，有多少个等于其各位数字和的 $6$ 倍？

How many positive integers less than $1000$ are $6$ times the sum of their digits?

$0$

$1$

$2$

$4$

$12$

知识点：数字极限情形界定分类讨论

难度评级：1730

小提示：

如果 $N$ 等于其数字和的 $6$ 倍，那么 $N$ 是 $6$ 的倍数，且 $N$ 不大。

If $N$ equals $6$ times its digit sum, then $N$ is a multiple of $6$ and $N$ is small

大提示：

小于 $1000$ 的数的数字和最大为 $27$ ，所以 $N \le 162$ 。

The digit sum of a number below $1000$ is at most $27,$ so $N \le 162$

解答：

如果 $N = 6\cdot(\text{数字和})$ ，那么由于小于 $1000$ 的数的数字和最大为 $27$ ，可得 $N \le 162$ 。

对于两位数， $10t + u = 6(t + u)$ ，得 $4t = 5u$ ，因而 $t = 5$ 且 $u = 4$ ，所以 $N = 54$ 。一位数需要 $6u = u$ ，对 $u \gt 0$ 不可能。三位数满足 $100h + 10t + u = 6(h + t + u)$ ，给出 $94h + 4t = 5u$ ，左边至少为 $94$ ，右边至多为 $45$ ，所以没有解。

因此恰好有一个数 $54$ ，满足条件。

因此，正确答案是 B。

If $N = 6\cdot(\text{digit sum}),$ then since the digit sum of a number below $1000$ is at most $27,$ we have $N \le 162.$

For a two-digit number $10t + u = 6(t + u)$ gives $4t = 5u,$ forcing $t = 5$ and $u = 4,$ so $N = 54.$ A one-digit number would need $6u = u,$ impossible for $u \gt 0.$ A three-digit number $100h + 10t + u = 6(h + t + u)$ gives $94h + 4t = 5u,$ whose left side is at least $94$ while the right side is at most $45,$ so there is no solution.

Hence exactly one number, $54,$ works.

Thus, the correct answer is B.

13.

一艘船从 $A$ 到 $B$ ，沿直线航行 $10$ 英里，转过一个介于 $45^\circ$ 和 $60^\circ$ 之间的角，然后再航行 $20$ 英里到达 $C$ 。令 $AC$ 以英里为单位。下列哪个区间包含 $AC^2$ ？

A ship sails $10$ miles in a straight line from $A$ to $B,$ turns through an angle between $45^\circ$ and $60^\circ,$ and then sails another $20$ miles to $C.$ Let $AC$ be measured in miles. Which of the following intervals contains $AC^2?$

$[400, 500]$

$[500, 600]$

$[600, 700]$

$[700, 800]$

$[800, 900]$

知识点：余弦定理极限情形界定

难度评级：1770

小提示：

由余弦定理， $AC^2 = 10^2$ $+ 20^2$ $- 2\cdot 10\cdot 20\cos(\angle ABC)$ 。

By the Law of Cosines, $AC^2 = 10^2$ $+ 20^2$ $- 2\cdot 10\cdot 20\cos(\angle ABC)$

大提示：

转角介于 $45^\circ$ 和 $60^\circ$ ，所以 $\angle ABC$ 介于 $120^\circ$ 和 $135^\circ$ 。

The turn is between $45^\circ$ and $60^\circ,$ so $\angle ABC$ is between $120^\circ$ and $135^\circ$

解答：

由余弦定理， $\begin{aligned} AC^2 &= 10^2 + 20^2 \\ &\quad {}- 2\cdot 10\cdot 20\cos(\angle ABC) \\ &= 500 - 400\cos(\angle ABC) \end{aligned}\text{。}$

船转过的角介于 $45^\circ$ 和 $60^\circ$ ，所以内角 $\angle ABC$ 介于 $120^\circ$ 和 $135^\circ$ 。

因为 $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$ 且 $\cos 135^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\begin{aligned} 700 &= 500 + 200 \\ &\le AC^2 \le 500 + 200\sqrt{2} \\ &\lt 800 \end{aligned}\text{。}$

所以 $AC^2$ 位于 $[700, 800]$ 中。

因此，正确答案是 D。

By the Law of Cosines, $\begin{aligned} AC^2 &= 10^2 + 20^2 \\ &\quad {}- 2\cdot 10\cdot 20\cos(\angle ABC) \\ &= 500 - 400\cos(\angle ABC). \end{aligned}$

The ship turns through an angle between $45^\circ$ and $60^\circ,$ so the interior angle $\angle ABC$ lies between $120^\circ$ and $135^\circ.$

Since $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$ and $\cos 135^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},$ $\begin{aligned} 700 &= 500 + 200 \\ &\le AC^2 \le 500 + 200\sqrt{2} \\ &\lt 800. \end{aligned}$

So $AC^2$ lies in $[700, 800].$

Thus, the correct answer is D.

14.

一个三角形的顶点是 $(0, 0)$ ， $(1, 1)$ ，和 $(6m, 0)$ ，直线 $y = mx$ 把该三角形分成两个面积相等的三角形。所有可能的 $m$ 的值之和是多少？

A triangle has vertices $(0, 0),$ $(1, 1),$ and $(6m, 0),$ and the line $y = mx$ divides the triangle into two triangles of equal area. What is the sum of all possible values of $m?$

$-\dfrac{1}{3}$

$-\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

知识点：坐标几何中线（几何）韦达定理

难度评级：1820

小提示：

这条线经过顶点 $(0, 0)$ ，所以若要平分面积，它必须经过对边的中点。

The line passes through the vertex $(0, 0),$ so to bisect the area it must hit the midpoint of the opposite side

大提示：

令从 $(1, 1)$ 到 $(6m, 0)$ 的线段中点在直线 $y = mx$ 上。

Set the midpoint of the segment from $(1, 1)$ to $(6m, 0)$ on the line $y = mx$

解答：

直线 $y = mx$ 经过顶点 $(0, 0)$ ，因此它恰好在经过对边中点时平分三角形面积。对边连接 $(1, 1)$ 与 $(6m, 0)$ 。其中点为 $\left(\dfrac{6m + 1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ 。

要求该点满足 $y = mx$ ，得到 $\frac{1}{2} = m\cdot\frac{6m + 1}{2}\text{，}$ 所以 $6m^2 + m - 1 = 0$ ，即 $(3m - 1)(2m + 1) = 0$ 。

可能的值是 $m = \dfrac{1}{3}$ 和 $m = -\dfrac{1}{2}$ ，它们的和为 $-\dfrac{1}{6}$ 。

因此，正确答案是 B。

The line $y = mx$ passes through the vertex $(0, 0),$ so it bisects the triangle’s area exactly when it passes through the midpoint of the opposite side, joining $(1, 1)$ and $(6m, 0).$ That midpoint is $\left(\dfrac{6m + 1}{2}, \dfrac{1}{2}\right).$

Requiring it to satisfy $y = mx$ gives $\frac{1}{2} = m\cdot\frac{6m + 1}{2},$ so $6m^2 + m - 1 = 0,$ that is $(3m - 1)(2m + 1) = 0.$

The possible values are $m = \dfrac{1}{3}$ and $m = -\dfrac{1}{2},$ whose sum is $-\dfrac{1}{6}.$

Thus, the correct answer is B.

15.

当 $n$ 取什么值时， $\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i \end{aligned}\text{？}$ 注：这里 $i = \sqrt{-1}$ 。

For what value of $n$ is $\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i? \end{aligned}$ Note: here $i = \sqrt{-1}.$

$24$

$48$

$49$

$97$

$98$

知识点：复数配对与分组

难度评级：2010

小提示：

把项按连续四个 $i$ 的幂为一组来分组。

Group the terms in blocks of four consecutive powers of $i$

大提示：

当 $k$ 是 $4$ 的倍数时，每一组 $(k + 1)i^{k+1} + \cdots + (k + 4)i^{k+4}$ 等于 $2 - 2i$ 。

Each block $(k + 1)i^{k+1} + \cdots + (k + 4)i^{k+4}$ with $k$ a multiple of $4$ equals $2 - 2i$

解答：

对于 $4$ 的倍数 $k$ $\begin{aligned} &(k + 1)i^{k+1} + (k + 2)i^{k+2} \\ &\quad {}+ (k + 3)i^{k+3} + (k + 4)i^{k+4} \\ &= (k + 1)i - (k + 2) \\ &\quad {}- (k + 3)i + (k + 4) \\ &= 2 - 2i \end{aligned}\text{。}$

前 $96$ 项，也就是 $24$ 组，和为 $24(2 - 2i) = 48 - 48i$ 。

再加下一项 $97i^{97} = 97i$ 得到 $48 - 48i + 97i = 48 + 49i$ 。所以 $n = 97$ 。

因此，正确答案是 D。

For $k$ a multiple of $4,$ $\begin{aligned} &(k + 1)i^{k+1} + (k + 2)i^{k+2} \\ &\quad {}+ (k + 3)i^{k+3} + (k + 4)i^{k+4} \\ &= (k + 1)i - (k + 2) \\ &\quad {}- (k + 3)i + (k + 4) \\ &= 2 - 2i. \end{aligned}$

Summing the first $96$ terms (that is $24$ blocks) gives $24(2 - 2i) = 48 - 48i.$

Adding the next term $97i^{97} = 97i$ yields $48 - 48i + 97i = 48 + 49i.$ So $n = 97.$

Thus, the correct answer is D.

16.

一个圆心为 $C$ 的圆与正 $x$ 轴和正 $y$ 轴都相切，并与圆心在 $(3, 0)$ 、半径为 $1$ 的圆外切。圆心为 $C$ 的圆所有可能半径之和是多少？

A circle with center $C$ is tangent to the positive $x$ - and $y$ -axes and externally tangent to the circle centered at $(3, 0)$ with radius $1.$ What is the sum of all possible radii of the circle with center $C?$

$3$

$4$

$6$

$8$

$9$

知识点：相切圆坐标几何韦达定理

难度评级：1910

小提示：

一个与两条正坐标轴都相切且半径为 $r$ 的圆，圆心为 $(r, r)$ 。

A circle tangent to both positive axes with radius $r$ has center $(r, r)$

大提示：

外切意味着 $(r, r)$ 与 $(3, 0)$ 的距离为 $r + 1$ ；建立关于 $r$ 的二次方程并使用韦达定理。

External tangency gives distance $r + 1$ between $(r, r)$ and $(3, 0);$ form a quadratic in $r$ and use Vieta

解答：

一个与两条正坐标轴都相切且半径为 $r$ 的圆，圆心为 $(r, r)$ 。与圆心 $(3, 0)$ 、半径 $1$ 的圆外切，意味着两圆心距离为 $r + 1$ ： $(r - 3)^2 + r^2 = (r + 1)^2\text{。}$

展开得 $r^2 - 8r + 8 = 0$ 。两个根 $r = 4 \pm 2\sqrt{2}$ 都为正，由韦达定理，它们的和为 $8$ 。

因此，正确答案是 D。

A circle tangent to both positive axes with radius $r$ has center $(r, r).$ External tangency to the circle at $(3, 0)$ of radius $1$ means the distance between centers is $r + 1$ : $(r - 3)^2 + r^2 = (r + 1)^2.$

Expanding gives $r^2 - 8r + 8 = 0.$ Both roots $r = 4 \pm 2\sqrt{2}$ are positive, and by Vieta’s formulas their sum is $8.$

Thus, the correct answer is D.

17.

$a + ar_1 + ar_1^2 + ar_1^3 + \cdots$ 和 $a + ar_2 + ar_2^2 + ar_2^3 + \cdots$ 是两个不同的、项都为正的无穷等比级数，且首项相同。第一个级数的和是 $r_1$ ，第二个级数的和是 $r_2$ 。求 $r_1 + r_2$ ？

Let $a + ar_1 + ar_1^2 + ar_1^3 + \cdots$ and $a + ar_2 + ar_2^2 + ar_2^3 + \cdots$ be two different infinite geometric series of positive numbers with the same first term. The sum of the first series is $r_1,$ and the sum of the second series is $r_2.$ What is $r_1 + r_2?$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$2$

知识点：等比数列韦达定理

难度评级：2040

小提示：

首项为 $a$ 、公比为 $r$ 的无穷等比级数的和是 $\dfrac{a}{1 - r}$ 。

The sum of an infinite geometric series with first term $a$ and ratio $r$ is $\dfrac{a}{1 - r}$

大提示：

每个公比都满足 $\dfrac{a}{1 - r} = r$ ，即 $r^2 - r + a = 0$ ；对两个根使用韦达定理。

Each ratio satisfies $\dfrac{a}{1 - r} = r,$ that is $r^2 - r + a = 0;$ use Vieta on the two roots

解答：

对首项为 $a$ 、公比为 $r$ 的级数，其和为 $\dfrac{a}{1 - r} = r$ ，所以 $r^2 - r + a = 0$ 。

$r_1$ 和 $r_2$ 都满足同一个二次方程，并且因为两个级数不同， $r_1 \ne r_2$ ，所以它们是该方程的两个不同根。由韦达定理， $r_1 + r_2 = 1$ 。

因此，正确答案是 C。

For a series with first term $a$ and ratio $r,$ the sum is $\dfrac{a}{1 - r} = r,$ so $r^2 - r + a = 0.$

Both $r_1$ and $r_2$ satisfy this same quadratic, and since the two series are different, $r_1 \ne r_2,$ so they are its two distinct roots. By Vieta’s formulas, $r_1 + r_2 = 1.$

Thus, the correct answer is C.

18.

对于 $k \gt 0$ ，令 $I_k = 10\ldots064$ ，其中 $1$ 和 $6$ 之间有 $k$ 个零。令 $N(k)$ 为 $I_k$ 的质因数分解中因子 $2$ 的个数。 $N(k)$ 的最大值是多少？

For $k \gt 0,$ let $I_k = 10\ldots064,$ where there are $k$ zeros between the $1$ and the $6.$ Let $N(k)$ be the number of factors of $2$ in the prime factorization of $I_k.$ What is the maximum value of $N(k)?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

知识点：质因数分解立方和与立方差

难度评级：2010

小提示：

写成 $I_k = 10^{k+2} + 64 = 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6$ 。

Write $I_k = 10^{k+2} + 64 = 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6$

大提示：

提出较小的 $2$ 的幂；最大值出现在 $k = 4$ ，此时 $5^6 + 1$ 又提供一个因子 $2$ 。

Factor out the smaller power of $2;$ the largest count comes at $k = 4,$ where $5^6 + 1$ supplies one extra factor of $2$

解答：

注意 $I_k = 10^{k+2} + 64$ $= 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6$ 。

当 $k \lt 4$ 时，第一项所含的因子 $2$ 少于 $6$ 个，所以 $N(k) \lt 6$ 。当 $k \gt 4$ 时，第一项可被 $2^7$ 整除，但 $2^6$ 这一项不能，所以 $N(k) \lt 7$ 。

当 $k = 4$ 时， $I_4 = 2^6(5^6 + 1)$ 。因为 $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26\cdot 601$ ，且 $26 = 2\cdot 13$ 恰好再贡献一个因子 $2$ ，所以 $N(4) = 7$ 。

因此最大值为 $7$ 。

因此，正确答案是 B。

Note that $I_k = 10^{k+2} + 64$ $= 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6.$

For $k \lt 4$ the first term has fewer than $6$ factors of $2,$ so $N(k) \lt 6.$ For $k \gt 4$ the first term is divisible by $2^7$ but the $2^6$ term is not, so $N(k) \lt 7.$

For $k = 4,$ $I_4 = 2^6(5^6 + 1).$ Since $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26\cdot 601,$ and $26 = 2\cdot 13$ contributes exactly one more factor of $2,$ we get $N(4) = 7.$

So the maximum value is $7.$

Thus, the correct answer is B.

19.

Andrea 在一个正五边形内切一个圆，并在该五边形外接一个圆，然后计算两个圆之间区域的面积。Bethany 对一个正七边形（ $7$ 条边）做了同样的事情。两个区域的面积分别为 $A$ 和 $B$ ，每个多边形的边长都是 $2$ 。下列哪项正确？

Andrea inscribed a circle inside a regular pentagon, circumscribed a circle around the pentagon, and calculated the area of the region between the two circles. Bethany did the same with a regular heptagon ( $7$ sides). The areas of the two regions were $A$ and $B,$ respectively. Each polygon had a side length of $2.$ Which of the following is true?

$A = \dfrac{25}{49}B$

$A = \dfrac{5}{7}B$

$A = B$

$A = \dfrac{7}{5}B$

$A = \dfrac{49}{25}B$

知识点：正多边形勾股定理圆面积

难度评级：1910

小提示：

对边长为 $2$ 的正多边形，设内切圆半径和外接圆半径分别为 $r$ 和 $R$ ，并观察中心、一条边的中点和该边的端点。

For a regular polygon with side $2,$ let $r$ and $R$ be the inradius and circumradius, and look at the center, a side’s midpoint, and its endpoint

大提示：

这个直角三角形的两条直角边为 $r$ 和 $1$ ，斜边为 $R$ ，所以无论边数是多少， $R^2 - r^2 = 1$ 。

That right triangle has legs $r$ and $1$ and hypotenuse $R,$ so $R^2 - r^2 = 1$ regardless of the number of sides

解答：

对边长为 $2$ 的正多边形，令 $O$ 为中心， $M$ 为一条边的中点， $N$ 为该边的一个端点。那么 $\triangle OMN$ 在 $M$ 处为直角，且 $MN = 1$ ， $OM = r$ （内切圆半径）， $ON = R$ （外接圆半径）。

所以 $R^2 - r^2 = 1$ ，两圆之间的面积为 $\pi(R^2 - r^2) = \pi$ ，与边数无关。因此 $A = B$ 。

因此，正确答案是 C。

For a regular polygon with side length $2,$ let $O$ be the center, $M$ the midpoint of a side, and $N$ an endpoint of that side. Then $\triangle OMN$ has a right angle at $M,$ with $MN = 1,$ $OM = r$ (inradius), and $ON = R$ (circumradius).

So $R^2 - r^2 = 1,$ and the area between the circles is $\pi(R^2 - r^2) = \pi$ for any number of sides. Hence $A = B.$

Thus, the correct answer is C.

20.

凸四边形 $ABCD$ 满足 $AB = 9$ 且 $CD = 12$ 。对角线 $AC$ 和 $BD$ 交于 $E$ ， $AC = 14$ ，且 $\triangle AED$ 与 $\triangle BEC$ 面积相等。求 $AE$ ？

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 9$ and $CD = 12.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $E,$ $AC = 14,$ and $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ have equal areas. What is $AE?$

$\dfrac{9}{2}$

$\dfrac{50}{11}$

$\dfrac{21}{4}$

$\dfrac{17}{3}$

$6$

知识点：平行线相似面积比

难度评级：1930

小提示：

$\triangle AED$ 和 $\triangle BEC$ 面积相等，推出 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCD$ 面积相等。

Equal areas of $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ imply $\triangle ACD$ and $\triangle BCD$ have equal areas

大提示：

这迫使 $AB \parallel CD$ ，于是 $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ ，相似比为 $\dfrac{9}{12}$ 。

That forces $AB \parallel CD,$ making $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ with ratio $\dfrac{9}{12}$

解答：

在 $\triangle AED$ 和 $\triangle BEC$ 两边都加上 $\triangle CED$ ，可知 $\triangle ACD$ 与 $\triangle BCD$ 面积相等。它们共用底边 $CD$ ，所以 $A$ 和 $B$ 到直线 $CD$ 的距离相等，意味着 $AB \parallel CD$ 。

因此 $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ ，相似比为 $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ ，所以 $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4}$ 。

设 $AE = 3x$ 且 $EC = 4x$ ，则 $7x = AC = 14$ ，所以 $x = 2$ ， $AE = 6$ 。

因此，正确答案是 E。

Adding $\triangle CED$ to each of $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ shows $\triangle ACD$ and $\triangle BCD$ have equal areas. They share base $CD,$ so $A$ and $B$ are equidistant from line $CD,$ meaning $AB \parallel CD.$

Then $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ with ratio $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4},$ so $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4}.$

Writing $AE = 3x$ and $EC = 4x,$ we get $7x = AC = 14,$ so $x = 2$ and $AE = 6.$

Thus, the correct answer is E.

21.

令 $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是复数。假设 $\begin{gathered} p(2009 + 9002\pi i) \\ = p(2009) \\ = p(9002) = 0\text{。} \end{gathered}$ 多项式 $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c$ 有多少个非实零点？

Let $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are complex numbers. Suppose that $\begin{gathered} p(2009 + 9002\pi i) \\ = p(2009) \\ = p(9002) = 0. \end{gathered}$ What is the number of nonreal zeros of $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c?$

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

知识点：多项式复数单位根

难度评级：2170

小提示：

注意 $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)$ 。

Notice that $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)$

大提示：

因此零点满足 $x^4 = 2009 + 9002\pi i$ ， $x^4 = 2009$ ，或 $x^4 = 9002$ ；数一数非实四次方根。

So the zeros satisfy $x^4 = 2009 + 9002\pi i,$ $x^4 = 2009,$ or $x^4 = 9002;$ count the nonreal fourth roots

解答：

因为 $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)$ ，一个值是零点当且仅当 $x^4$ 等于 $p$ 的某个根，即 $2009 + 9002\pi i$ ， $2009$ ，或 $9002$ 。

方程 $x^4 = 2009 + 9002\pi i$ 有四个不同的非实根。 $x^4 = 2009$ 和 $x^4 = 9002$ 各有两个实根和两个非实根。

所以非实零点个数为 $4 + 2 + 2 = 8$ 。

因此，正确答案是 C。

Since $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4),$ a value is a zero exactly when $x^4$ equals one of the roots of $p,$ namely $2009 + 9002\pi i,$ $2009,$ or $9002.$

The equation $x^4 = 2009 + 9002\pi i$ has four distinct nonreal roots. Each of $x^4 = 2009$ and $x^4 = 9002$ has two real roots and two nonreal roots.

So the nonreal zeros number $4 + 2 + 2 = 8.$

Thus, the correct answer is C.

22.

一个正八面体的边长为 $1$ 。一个平行于其中两张相对面的平面把该八面体切成两个全等的立体。该平面与八面体相交形成的多边形面积为 $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ ，其中 $a$ ， $b$ ，和 $c$ 是正整数， $a$ 与 $c$ 互质，且 $b$ 不被任何质数的平方整除。求 $a + b + c$ ？

A regular octahedron has side length $1.$ A plane parallel to two of its opposite faces cuts the octahedron into two congruent solids. The polygon formed by the intersection of the plane and the octahedron has area $\dfrac{a\sqrt{b}}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, $a$ and $c$ are relatively prime, and $b$ is not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c?$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

知识点：立体几何正多边形面积

难度评级：2270

小提示：

切割平面经过不属于那两张平行面的六条边的中点。

The cutting plane passes through the midpoints of the six edges that do not belong to the two parallel faces

大提示：

这些中点形成一个边长为 $\dfrac{1}{2}$ 的正六边形；求它的面积。

Those midpoints form a regular hexagon with side $\dfrac{1}{2};$ find its area

解答：

设那两张平行面为三角形。该平面经过不在这些面上的六条边的中点，形成一个边长为 $\dfrac{1}{2}$ 的等边六边形；由对称性它也等角，因此是正六边形。

正六边形由六个等边三角形组成，所以面积为 $6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}\text{。}$

因此 $a = 3$ ， $b = 3$ ， $c = 8$ ，且 $a + b + c = 14$ 。

因此，正确答案是 E。

Let the two parallel faces be triangles. The plane passes through the midpoints of the six edges not on those faces, forming an equilateral hexagon of side $\dfrac{1}{2},$ which by symmetry is also equiangular and hence regular.

A regular hexagon is six equilateral triangles, so its area is $6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}.$

Thus $a = 3,$ $b = 3,$ $c = 8,$ and $a + b + c = 14.$

Thus, the correct answer is E.

23.

函数 $f$ 和 $g$ 都是二次函数， $g(x) = -f(100 - x)$ ，且 $g$ 的图像经过 $f$ 的图像的顶点。这两个图像上的四个 $x$ 截距按递增顺序的 $x$ 坐标为 $x_1$ ， $x_2$ ， $x_3$ ，和 $x_4$ ，且 $x_3 - x_2 = 150$ 。 $x_4 - x_1$ 的值为 $m + n\sqrt{p}$ ，其中 $m$ ， $n$ ，和 $p$ 是正整数，且 $p$ 不被任何质数的平方整除。求 $m + n + p$ ？

Functions $f$ and $g$ are quadratic, $g(x) = -f(100 - x),$ and the graph of $g$ contains the vertex of the graph of $f.$ The four $x$ -intercepts on the two graphs have $x$ -coordinates $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ and $x_4,$ in increasing order, and $x_3 - x_2 = 150.$ The value of $x_4 - x_1$ is $m + n\sqrt{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, and $p$ is not divisible by the square of any prime. What is $m + n + p?$

$602$

$652$

$702$

$752$

$802$

知识点：二次方程抛物线对称性

难度评级：2420

小提示：

映射 $(x, y) \mapsto (100 - x, -y)$ 是绕 $(50, 0)$ 旋转 $180^\circ$ ，它把 $f$ 的图像变为 $g$ 的图像。

The map $(x, y) \mapsto (100 - x, -y)$ is a $180^\circ$ rotation about $(50, 0)$ that sends the graph of $f$ to the graph of $g$

大提示：

因此根配对为 $x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100$ ；结合 $x_3 - x_2 = 150$ ，求出 $x_2, x_3$ ，再使用顶点条件。

So the roots pair as $x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100;$ with $x_3 - x_2 = 150,$ find $x_2, x_3$ and use the vertex condition

解答：

因为 $g(x) = -f(100 - x)$ ， $f$ 和 $g$ 的图像关于点 $(50, 0)$ 互为中心对称，所以四个截距成对满足 $x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100$ 。

由 $x_3 - x_2 = 150$ ，得 $x_2 = -25$ 且 $x_3 = 125$ 。

取 $x_1, x_3$ 为 $f$ 的两个根，其顶点的 $x$ 坐标为 $h = \dfrac{x_1 + x_3}{2}$ ，所以 $x_1 = 2h - 125$ 。 $f$ 的顶点落在 $g$ 的图像上，这一条件给出 $\begin{aligned} 1 &= \frac{f(h)}{g(h)} \\ &= \frac{(125 - h)(h - 125)}{-(h + 25)(3h - 225)} \end{aligned}\text{，}$ 由此解得 $h = -25 \pm 75\sqrt{2}$ 。由于 $x_1 = 2h-125$ 必须小于 $x_2=-25$ ，需要 $h \lt 50$ ，所以 $h = -25-75\sqrt{2}$ 。

又 $x_4 = 100 - x_1$ ，所以 $\begin{aligned} x_4 - x_1 &= 350 - 4h \\ &= 450 + 300\sqrt{2} \end{aligned}\text{。}$ 因而 $m + n + p = 450 + 300 + 2$ $= 752$ 。

因此，正确答案是 D。

Because $g(x) = -f(100 - x),$ the graphs of $f$ and $g$ are reflections of each other through the point $(50, 0),$ so the four intercepts pair up with $x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100.$

With $x_3 - x_2 = 150,$ we get $x_2 = -25$ and $x_3 = 125.$

Take $x_1, x_3$ as the roots of $f,$ whose vertex has $x$ -coordinate $h = \dfrac{x_1 + x_3}{2},$ so $x_1 = 2h - 125.$ The condition that the vertex of $f$ lies on the graph of $g$ gives $\begin{aligned} 1 &= \frac{f(h)}{g(h)} \\ &= \frac{(125 - h)(h - 125)}{-(h + 25)(3h - 225)}, \end{aligned}$ which gives $h = -25 \pm 75\sqrt{2}.$ Since $x_1 = 2h-125$ must be less than $x_2=-25,$ we need $h \lt 50,$ so $h = -25-75\sqrt{2}.$

Then $x_4 = 100 - x_1,$ so $\begin{aligned} x_4 - x_1 &= 350 - 4h \\ &= 450 + 300\sqrt{2}. \end{aligned}$ Hence $m + n + p = 450 + 300 + 2$ $= 752.$

Thus, the correct answer is D.

24.

二的塔函数递归定义如下： $T(1) = 2$ ，且对 $n \ge 1$ 有 $T(n + 1) = 2^{T(n)}$ 。令 $A = (T(2009))^{T(2009)}$ ，且 $B = (T(2009))^A$ 。最大的整数 $k$ 是多少，使得 $\underbrace{\log_2 \log_2 \log_2 \ldots \log_2}_{k} B$ 有定义？

The tower function of twos is defined recursively as follows: $T(1) = 2$ and $T(n + 1) = 2^{T(n)}$ for $n \ge 1.$ Let $A = (T(2009))^{T(2009)}$ and $B = (T(2009))^A.$ What is the largest integer $k$ such that $\underbrace{\log_2 \log_2 \log_2 \ldots \log_2}_{k} B$ is defined?

$2009$

$2010$

$2011$

$2012$

$2013$

知识点：递推对数指数

难度评级：2650

小提示：

反复应用 $\log_2$ 会剥去幂塔的一层： $\log_2 T(n + 1) = T(n)$ 。

Repeatedly applying $\log_2$ peels one level off a tower: $\log_2 T(n + 1) = T(n)$

大提示：

追踪 $B = (T(2009))^A$ 在数值降到小于 $1$ 之前能承受多少次取对数。

Track how many logs $B = (T(2009))^A$ can survive before the value drops below $1$

解答：

因为 $\log_2 T(n + 1) = T(n)$ ，每次应用 $\log_2$ 都会从一个 $2$ 的幂塔顶部去掉一层。

记 $T_j=T(j)$ ，并设 $L_j$ 为对 $B$ 恰好取 $j$ 次 $\log_2$ 所得的结果。前两个结果为 $\begin{aligned} L_1 &= A\,T_{2008}, \\ L_2 &= T_{2009}T_{2008}+T_{2007} \end{aligned}\text{。}$

先看下界， $\begin{aligned} L_3 &\gt \log_2(T_{2009}T_{2008}) \\ &= T_{2008}+T_{2007} \\ &\gt T_{2008} \end{aligned}\text{。}$ 反复取对数可得，对 $0\le k\le 2007$ 都有 $L_{k+3} \gt T_{2008-k}$ 。特别地， $L_{2010}\gt2$ ，于是 $L_{2011}\gt1$ ，进而 $L_{2012}\gt0$ 。因此 $L_{2013}$ 有定义。

再看上界，由 $T_{2007}\lt T_{2008}T_{2009}$ 得 $\begin{aligned} L_3 &\lt 1+T_{2007}+T_{2008} \\ &\lt 2T_{2008}, \\ L_4 &\lt 1+T_{2007} \lt T_{2008} \end{aligned}\text{。}$ 反复使用最后一个不等式可得，对 $0\le k\le2007$ 都有 $L_{k+4}\lt T_{2008-k}$ 。于是 $L_{2011}\lt2$ 。结合下界即得 $0\lt L_{2012}\lt1$ ，从而 $L_{2013}\lt0$ 。因此 $L_{2014}$ 无定义，最大的 $k$ 是 $2013$ 。

因此，正确答案是 E。

Since $\log_2 T(n + 1) = T(n),$ each application of $\log_2$ strips one $2$ off the top of a tower of twos.

Write $T_j=T(j),$ and let $L_j$ be the result of applying $\log_2$ to $B$ exactly $j$ times. The first two results are $\begin{aligned} L_1 &= A\,T_{2008}, \\ L_2 &= T_{2009}T_{2008}+T_{2007}. \end{aligned}$

For the lower bound, $\begin{aligned} L_3 &\gt \log_2(T_{2009}T_{2008}) \\ &= T_{2008}+T_{2007} \\ &\gt T_{2008}. \end{aligned}$ Repeatedly taking logarithms gives $L_{k+3} \gt T_{2008-k}$ for $0\le k\le 2007.$ In particular, $L_{2010}\gt2,$ so $L_{2011}\gt1$ and $L_{2012}\gt0.$ Thus $L_{2013}$ is defined.

For the upper bound, $T_{2007}\lt T_{2008}T_{2009},$ so $\begin{aligned} L_3 &\lt 1+T_{2007}+T_{2008} \\ &\lt 2T_{2008}, \\ L_4 &\lt 1+T_{2007} \lt T_{2008}. \end{aligned}$ Repeating the last comparison gives $L_{k+4}\lt T_{2008-k}$ for $0\le k\le2007.$ Hence $L_{2011}\lt2.$ Together with the lower bound, this yields $0\lt L_{2012}\lt1,$ so $L_{2013}\lt0.$ Therefore $L_{2014}$ is undefined, and the largest possible $k$ is $2013.$

Thus, the correct answer is E.

25.

一个数列的前两项为 $a_1 = 1$ 和 $a_2 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 。对于 $n \ge 1$ ， $a_{n+2} = \dfrac{a_n + a_{n+1}}{1 - a_n a_{n+1}}\text{。}$ 求 $|a_{2009}|$ ？

The first two terms of a sequence are $a_1 = 1$ and $a_2 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$ For $n \ge 1,$ $a_{n+2} = \dfrac{a_n + a_{n+1}}{1 - a_n a_{n+1}}.$ What is $|a_{2009}|?$

$0$

$2 - \sqrt{3}$

$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$1$

$2 + \sqrt{3}$

知识点：三角恒等式递推模运算

难度评级：2520

小提示：

递推式对应正切加法公式 $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$ 。

The recursion matches the tangent addition formula $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

大提示：

因为 $a_1 = \tan\dfrac{\pi}{4}$ 且 $a_2 = \tan\dfrac{\pi}{6}$ ，写成 $a_n = \tan\dfrac{\pi c_n}{12}$ ，并追踪 $c_n \bmod 12$ 。

Since $a_1 = \tan\dfrac{\pi}{4}$ and $a_2 = \tan\dfrac{\pi}{6},$ write $a_n = \tan\dfrac{\pi c_n}{12}$ and track $c_n \bmod 12$

解答：

递推式正是正切加法公式，并且 $a_1 = \tan\dfrac{\pi}{4}$ ， $a_2 = \tan\dfrac{\pi}{6}$ 。

写成 $a_n = \tan\dfrac{\pi c_n}{12}$ ，其中 $c_1 = 3$ 、 $c_2 = 2$ ，且 $c_{n+2} \equiv c_n + c_{n+1} \pmod{12}$ 。序列 $c_n$ 为 $\begin{gathered} 3, 2, 5, 7, 0, 7, 7, 2, \\ 9, 11, 8, 7, 3, 10, 1, 11, \\ 0, 11, 11, 10, 9, 7, 4, 11, \ldots \end{gathered}$ 其周期为 $24$ 。

因为 $2009 = 24\cdot 83 + 17$ ，所以 $c_{2009} = c_{17} = 0$ ，从而 $a_{2009} = \tan 0 = 0$ ， $|a_{2009}| = 0$ 。

因此，正确答案是 A。

The recursion is exactly the tangent addition formula, and $a_1 = \tan\dfrac{\pi}{4},$ $a_2 = \tan\dfrac{\pi}{6}.$

Writing $a_n = \tan\dfrac{\pi c_n}{12}$ with $c_1 = 3,$ $c_2 = 2,$ and $c_{n+2} \equiv c_n + c_{n+1} \pmod{12},$ the sequence $c_n$ is $\begin{gathered} 3, 2, 5, 7, 0, 7, 7, 2, \\ 9, 11, 8, 7, 3, 10, 1, 11, \\ 0, 11, 11, 10, 9, 7, 4, 11, \ldots \end{gathered}$ which is periodic with period $24.$

Since $2009 = 24\cdot 83 + 17,$ $c_{2009} = c_{17} = 0,$ so $a_{2009} = \tan 0 = 0$ and $|a_{2009}| = 0.$

Thus, the correct answer is A.