Question

从半径为 $6$ 的圆中截取一个圆心角为锐角 $\theta$ 的扇形。该扇形的外接圆半径为

A sector with acute central angle $\theta$ is cut from a circle of radius $6.$ The radius of the circle circumscribed about the sector is

$3\cos\theta$

$3\sec\theta$

$3\cos\frac12\theta$

$3\sec\frac12\theta$

$3$

答案：D

知识点：扇形外接圆、外心与外接圆半径正弦定理

难度评级：2100

小提示：

将扇形的两条半径与弦看作一个等腰三角形

Treat the sector’s two radii and chord as an isosceles triangle

大提示：

用 $\frac{\theta}{2}$ 表示弦长，再应用正弦定理的扩展形式

Express the chord using $\frac{\theta}{2},$ then apply the extended sine rule

解答：

两条半径与扇形的弦组成一个腰长为 $6$ 、顶角为 $\theta$ 的等腰三角形。其底边长为 $12\sin(\frac{\theta}{2})$ 。若 $R$ 为该三角形的外接圆半径，则扩展正弦定理给出 $2R=\frac{12\sin(\frac{\theta}{2})}{\sin\theta}\text{。}$ 由于 $\sin\theta=2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$ ， $R=3\sec\frac{\theta}{2}\text{。}$

所以正确答案是 D。

The two radii and the sector’s chord form an isosceles triangle with equal sides $6$ and vertex angle $\theta.$ Its base has length $12\sin(\frac{\theta}{2}).$ If $R$ is the triangle’s circumradius, the extended sine rule gives $2R=\frac{12\sin(\frac{\theta}{2})}{\sin\theta}.$ Since $\sin\theta=2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2}),$ $R=3\sec\frac{\theta}{2}.$

Therefore, the correct answer is D.

1973 AMC 12 第 15 题

答案：D

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题