Question

有多少个 $n$ 值能使正 $n$ 边形的内角度数为整数？

For how many values of $n$ will an $n$ -sided regular polygon have interior angles with integral degree measures?

$16$

$18$

$20$

$22$

$24$

答案：D

知识点：正多边形 divisors 质因数分解

难度评级：1710

小提示：

一个内角为 $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$ 。

An interior angle is $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$

大提示：

数出因数 $n$ 的所有可能值，使其整除 $360$ ，并排除小于 $3$ 的值。

Count divisors $n$ of $360$ and exclude values below $3$

解答：

内角为 $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$ ，其度数为整数当且仅当 $360$ 能被 $n$ 整除。因为 $360=2^3\cdot3^2\cdot5$ ，它有 $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ 个正因数。排除 $n=1$ 和 $n=2$ 后，剩下 $22$ 个可行值。因此正确答案是 D。

The interior angle is $180^\circ-\frac{360^\circ}{n},$ which is integral exactly when $360$ is divisible by $n.$ Since $360=2^3\cdot3^2\cdot5,$ it has $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ positive divisors. Excluding $n=1$ and $n=2$ leaves $22$ allowable values. Thus the correct answer is D.

1993 AMC 12 第 15 题

答案：D

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题