Question

考虑如下正整数非递减数列： $\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\\ &5,5,5,5,5,\ldots \end{aligned}$ 其中第 $n$ 个正整数出现 $n$ 次。第 $1993$ 项除以 $5$ 的余数是

Consider the non-decreasing sequence of positive integers $\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\\ &5,5,5,5,5,\ldots \end{aligned}$ in which the $n$ th positive integer appears $n$ times. The remainder when the $1993$ rd term is divided by $5$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：D

知识点：triangular numbers indexed sequence 模运算

难度评级：1500

小提示：

数 $n$ 最后一次出现的位置是 $\frac{n(n+1)}2$ 。

The final occurrence of $n$ is in position $\frac{n(n+1)}2$

大提示：

将 $1993$ 与对应于 $62$ 和 $63$ 的三角数比较。

Compare $1993$ with the triangular numbers for $62$ and $63$

解答：

最后一个 $62$ 出现在位置 $\frac{62\cdot63}{2}=1953\text{，}$ 而最后一个 $63$ 出现在位置 $\frac{63\cdot64}{2}=2016$ 。因此第 $1993$ 项是 $63$ ，它除以 $5$ 的余数为 $3$ 。故正确答案是 D。

The last $62$ occurs in position $\frac{62\cdot63}{2}=1953,$ while the last $63$ occurs in position $\frac{63\cdot64}{2}=2016.$ Thus the $1993$ rd term is $63,$ whose remainder modulo $5$ is $3.$ Thus the correct answer is D.

1993 AMC 12 第 16 题

答案：D

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题