LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

2009 AMC 12B 第 16 题

先试着解答 2009 AMC 12B 第 16 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2009 AMC 12B 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

16.

梯形 ABCDABCD 满足 AD∥BCAD \parallel BC、BD=1BD = 1、∠DBA=23∘\angle DBA = 23^\circ、∠BDC=46∘\angle BDC = 46^\circ。比值 BC:ADBC : AD 为 9:59 : 5。CDCD 是多少？

Trapezoid ABCDABCD has AD∥BC,AD \parallel BC, BD=1,BD = 1, ∠DBA=23∘,\angle DBA = 23^\circ, and ∠BDC=46∘.\angle BDC = 46^\circ. The ratio BC:ADBC : AD is 9:5.9 : 5. What is CD?CD?

79\dfrac{7}{9}

45\dfrac{4}{5}

1315\dfrac{13}{15}

89\dfrac{8}{9}

1415\dfrac{14}{15}

答案：B
知识点：角平分线定理梯形平行线
难度评级：1800
小提示：

过 DD 作平行于 ABAB 的直线，与 BCBC 交于 EE；则 BE=ADBE = AD。

Draw the line through DD parallel to AB,AB, meeting BCBC at EE; then BE=ADBE = AD

大提示：

证明 DEDE 平分 ∠BDC\angle BDC，再在 △BDC\triangle BDC 中使用角平分线定理。

Show DEDE bisects ∠BDC,\angle BDC, then apply the angle bisector theorem in △BDC\triangle BDC

解答：

过 DD 作平行于 ABAB 的直线，与 BCBC 交于 EE，于是 ABEDABED 是平行四边形，且 BE=ADBE = AD。于是 ∠BDE=∠DBA=23∘\angle BDE = \angle DBA = 23^\circ，又因为 ∠BDC=46∘\angle BDC = 46^\circ，所以 DEDE 平分 ∠BDC\angle BDC。

在 △BDC\triangle BDC 中由角平分线定理，ECBE=DCDB\dfrac{EC}{BE} = \dfrac{DC}{DB}，所以 CD=DB⋅BC−ADAD=1⋅(95−1)=45。 \begin{aligned} CD &= DB \cdot \dfrac{BC - AD}{AD} \\ &= 1 \cdot \left(\dfrac{9}{5} - 1\right) \\ &= \dfrac{4}{5} \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 B。

Draw the line through DD parallel to AB,AB, meeting BCBC at E,E, so ABEDABED is a parallelogram with BE=AD.BE = AD. Then ∠BDE=∠DBA=23∘,\angle BDE = \angle DBA = 23^\circ, and since ∠BDC=46∘,\angle BDC = 46^\circ, segment DEDE bisects ∠BDC.\angle BDC.

By the angle bisector theorem in △BDC,\triangle BDC, ECBE=DCDB,\dfrac{EC}{BE} = \dfrac{DC}{DB}, so CD=DB⋅BC−ADAD=1⋅(95−1)=45. \begin{aligned} CD &= DB \cdot \dfrac{BC - AD}{AD} \\ &= 1 \cdot \left(\dfrac{9}{5} - 1\right) \\ &= \dfrac{4}{5}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

第 15 题#15
完整试卷
第 17 题#17

其他年份的第 16 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B