Question

菱形 $ABCD$ 的边长为 $2$ ，且 $\angle B=120^\circ$ 。区域 $R$ 由菱形内部所有比到其他三个顶点都更靠近顶点 $B$ 的点组成。 $R$ 的面积是多少？

Rhombus $ABCD$ has side length $2$ and $\angle B=120^\circ.$ Region $R$ consists of all points inside the rhombus that are closer to vertex $B$ than any of the other three vertices. What is the area of $R?$

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$2$

答案：C

知识点：垂直平分线菱形面积

难度评级：1850

小提示：

区域 $R$ 的边界在经过 $B$ 的两条边的垂直平分线上。

The boundary of $R$ lies along the perpendicular bisectors of the sides through $B$

大提示：

$R$ 是一个五边形，由四个全等的 $30$ - $60$ - $90$ 三角形组成，每个都有一条长为 $1$ 的直角边。

$R$ is a pentagon made of four congruent $30$ - $60$ - $90$ triangles, each with a leg of length $1$

解答：

设 $E$ 和 $H$ 分别为 $AB$ 与 $BC$ 的中点。 $AB$ 的垂直平分线经过 $E$ 与对角线 $AC$ 交于 $F$ ； $BC$ 的垂直平分线经过 $H$ 与 $AC$ 交于 $G$ 。区域 $R$ 是五边形 $BEFGH$ 。

三角形 $AFE$ 是 $30$ - $60$ - $90^\circ$ 三角形，且 $AE=1$ ，所以面积为 $\dfrac12\cdot1\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{6}$ 。三角形 $BFE$ 和 $BGH$ 与它全等，而 $\triangle FBG$ 是等边三角形，可分成另外两个相同的小三角形。

因此 $R$ 由四个全等三角形组成，面积为 $4\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ 。

所以正确答案是 C。

Let $E$ and $H$ be the midpoints of $AB$ and $BC.$ The perpendicular bisector of $AB$ through $E$ meets diagonal $AC$ at $F,$ and the perpendicular bisector of $BC$ through $H$ meets $AC$ at $G.$ The region $R$ is the pentagon $BEFGH.$

Triangle $AFE$ is a $30$ - $60$ - $90^\circ$ triangle with $AE=1,$ so its area is $\dfrac12\cdot1\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{6}.$ Triangles $BFE$ and $BGH$ are congruent to it, and $\triangle FBG$ is equilateral, splitting into two more copies.

Hence $R$ consists of four congruent triangles, giving area $4\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12B 第 16 题

答案：C

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题