1984 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

$\frac{1000^2}{252^2-248^2}$ 等于

$\frac{1000^2}{252^2-248^2}$ equals

$62{,}500$

$1000$

$500$

$250$

$\frac12$

知识点：平方差代数变形

难度评级：1210

小提示：

将分母分解为平方差

Factor the denominator as a difference of squares

大提示：

利用 $252+248=500$ 和 $252-248=4$

Use $252+248=500$ and $252-248=4$

解答：

分解分母得 $\begin{aligned} 252^2-248^2 &=(252+248)\\ &\quad{}\cdot(252-248)\\ &=500\cdot4=2000 \end{aligned}\text{。}$ 因此原商为 $\frac{1000^2}{2000}=500$ 。所以正确答案是 C。

Factoring the denominator gives $\begin{aligned} 252^2-248^2 &=(252+248)\\ &\quad{}\cdot(252-248)\\ &=500\cdot4=2000. \end{aligned}$ Thus the given quotient is $\frac{1000^2}{2000}=500.$ Therefore, the correct answer is C.

2.

若 $x$ 、 $y$ 和 $y-\frac1x$ 都不为 $0$ ，则 $\frac{x-\frac1y}{y-\frac1x}$ 等于

If $x,$ $y$ and $y-\frac1x$ are not $0,$ then $\frac{x-\frac1y}{y-\frac1x}$ equals

$1$

$\frac{x}{y}$

$\frac{y}{x}$

$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$

$xy-\frac1{xy}$

知识点：分数代数变形

难度评级：1330

小提示：

将分子和分母分别写成一个分式

Write the numerator and denominator as single fractions

大提示：

两部分都含有公因式 $xy-1$

Both parts contain the common factor $xy-1$

解答：

有 $x-\frac1y=\frac{xy-1}{y}$ 和 $y-\frac1x=\frac{xy-1}{x}$ 。已知条件保证所需各量不为零，所以它们的商为 $\frac{\frac{xy-1}{y}}{\frac{xy-1}{x}}=\frac{x}{y}\text{。}$ 所以正确答案是 B。

We have $x-\frac1y=\frac{xy-1}{y}$ and $y-\frac1x=\frac{xy-1}{x}.$ The hypotheses make the needed quantities nonzero, so their quotient is $\frac{\frac{xy-1}{y}}{\frac{xy-1}{x}}=\frac{x}{y}.$ Therefore, the correct answer is B.

3.

令 $n$ 为大于 $1$ 、没有小于 $10$ 的素因数的最小合数。则

Let $n$ be the smallest nonprime integer greater than $1$ with no prime factor less than $10.$ Then

$100\lt n\le110$

$110\lt n\le120$

$120\lt n\le130$

$130\lt n\le140$

$140\lt n\le150$

知识点：质因数分解极端原理

难度评级：1770

小提示：

允许的最小素因数为 $11$

The smallest permitted prime factor is $11$

大提示：

要得到最小合数，使用两个最小的允许素因数

To make the smallest composite, use the two smallest permitted prime factors

解答：

$n$ 的每个素因数都至少为 $11$ 。满足这一性质的最小合数是 $11\cdot11=121$ ，它位于 $120\lt n\le130$ 内。

所以正确答案是 C。

Every prime factor of $n$ is at least $11.$ The smallest composite with that property is $11\cdot11=121,$ which lies in $120\lt n\le130.$

Therefore, the correct answer is C.

4.

一个长方形与一个圆相交，如图所示： $AB=4$ 、 $BC=5$ 、 $DE=3$ 。则 $EF$ 等于

A rectangle intersects a circle as shown: $AB=4,$ $BC=5$ and $DE=3.$ Then $EF$ equals

$6$

$7$

$\frac{20}{3}$

$8$

$9$

知识点：弦垂直平分线矩形

难度评级：1720

小提示：

两条平行弦的垂直平分线经过同一个圆心

The perpendicular bisectors of the two parallel chords pass through the same center

大提示：

因此 $BC$ 和 $EF$ 的中点具有相同的水平位置

Therefore the midpoints of $BC$ and $EF$ have the same horizontal position

解答：

经过圆心并垂直于平行弦 $BC$ 和 $EF$ 的直线平分这两条弦。从长方形左边起测量， $BC$ 的中点位置为 $4+\frac52$ ，而 $EF$ 的中点位置为 $3+\frac{EF}{2}$ 。因此 $4+\frac52=3+\frac{EF}{2}\text{，}$ 得到 $EF=7$ 。

所以正确答案是 B。

The line through the circle’s center perpendicular to the parallel chords $BC$ and $EF$ bisects both. Measured from the rectangle’s left side, the midpoint of $BC$ is $4+\frac52,$ while the midpoint of $EF$ is $3+\frac{EF}{2}.$ Thus $4+\frac52=3+\frac{EF}{2},$ giving $EF=7.$

Therefore, the correct answer is B.

5.

满足 $n^{200}\lt5^{300}$ 的最大整数 $n$ 为

The largest integer $n$ for which $n^{200}\lt5^{300}$ is

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

知识点：指数完全平方数不等式

难度评级：1630

小提示：

对两边取正的一百分之一次方

Take the positive one-hundredth root of both sides

大提示：

比较 $n^2$ 与 $5^3$

Compare $n^2$ with $5^3$

解答：

对两边取正的一百分之一次方，得到 $n^2\lt5^3=125$ 。由于 $11^2=121\lt125$ ，而 $12^2=144\gt125$ ，所以最大可能整数为 $11$ 。

所以正确答案是 D。

Taking positive one-hundredth roots gives $n^2\lt5^3=125.$ Since $11^2=121\lt125$ but $12^2=144\gt125,$ the largest possible integer is $11.$

Therefore, the correct answer is D.

6.

某学校的男生人数是女生人数的三倍，女生人数是教师人数的九倍。用字母 $b$ 、 $g$ 、 $t$ 分别表示男生、女生和教师人数，则男生、女生和教师的总人数可表示为

In a certain school, there are three times as many boys as girls and nine times as many girls as teachers. Using the letters $b,$ $g,$ $t$ to represent the number of boys, girls and teachers, respectively, then the total number of boys, girls and teachers can be represented by the expression

$31b$

$\frac{37}{27}b$

$13g$

$\frac{37}{27}g$

$\frac{37}{27}t$

知识点：比与比例代数变形

难度评级：1290

小提示：

将 $g$ 和 $t$ 都用 $b$ 表示

Express both $g$ and $t$ in terms of $b$

大提示：

已知比例给出 $g=\frac{b}{3}$ 和 $t=\frac{b}{27}$

The given ratios imply $g=\frac{b}{3}$ and $t=\frac{b}{27}$

解答：

因为 $b=3g$ 且 $g=9t$ ，所以 $g=\frac{b}{3}$ ，且 $t=\frac{b}{27}$ 。因此 $b+g+t=b+\frac b3+\frac b{27}=\frac{37}{27}b\text{。}$ 所以正确答案是 B。

Because $b=3g$ and $g=9t,$ we have $g=\frac{b}{3}$ and $t=\frac{b}{27}.$ Hence $b+g+t=b+\frac b3+\frac b{27}=\frac{37}{27}b.$ Therefore, the correct answer is B.

7.

戴夫步行上学时，平均每分钟走 $90$ 步，每步长 $75$ 厘米。他到学校需要 $16$ 分钟。他的弟弟杰克沿同一路线去同一所学校，平均每分钟走 $100$ 步，但每步只有 $60$ 厘米。杰克到学校需要多长时间？

When Dave walks to school, he averages $90$ steps per minute, each of his steps $75$ cm long. It takes him $16$ minutes to get to school. His brother, Jack, going to the same school by the same route, averages $100$ steps per minute, but his steps are only $60$ cm long. How long does it take Jack to get to school?

$14\frac29$ 分钟

$14\frac29$ min.

$15$ 分钟

$15$ min.

$18$ 分钟

$18$ min.

$20$ 分钟

$20$ min.

$22\frac29$ 分钟

$22\frac29$ min.

知识点：路程、速度与时间单位换算

难度评级：1290

小提示：

由戴夫的步频、步长和时间求出路线长度

Find the route’s length from Dave’s step rate, step length, and time

大提示：

杰克每分钟走 $100\cdot60$ 厘米

Jack covers $100\cdot60$ centimeters each minute

解答：

路线长为 $16\cdot90\cdot75$ 厘米。杰克每分钟走 $100\cdot60$ 厘米，所以所需时间为 $\frac{16\cdot90\cdot75}{100\cdot60}=18$ 分钟。所以正确答案是 C。

The route is $16\cdot90\cdot75$ centimeters long. Jack covers $100\cdot60$ centimeters per minute, so his time is $\frac{16\cdot90\cdot75}{100\cdot60}=18$ minutes. Therefore, the correct answer is C.

8.

图形 $ABCD$ 是梯形，其中 $AB\parallel DC$ 、 $AB=5$ 、 $BC=3\sqrt2$ 、 $\angle BCD=45^\circ$ 、 $\angle CDA=60^\circ$ 。 $DC$ 的长度为

Figure $ABCD$ is a trapezoid with $AB\parallel DC,$ $AB=5,$ $BC=3\sqrt2,$ $\angle BCD=45^\circ$ and $\angle CDA=60^\circ.$ The length of $DC$ is

$7+\frac23\sqrt3$

$8$

$9\frac12$

$8+\sqrt3$

$8+3\sqrt3$

知识点：梯形特殊直角三角形面积分割

难度评级：1800

小提示：

从 $A$ 和 $B$ 向 $DC$ 作垂线

Drop perpendiculars from $A$ and $B$ to $DC$

大提示：

右侧三角形是 $45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ$ 三角形，左侧三角形是 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形

The right-hand triangle is $45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ,$ and the left-hand triangle is $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$

解答：

从 $A$ 和 $B$ 向 $DC$ 作垂线。由于 $BC=3\sqrt2$ ，且 $C$ 处的角为 $45^\circ$ ，高和右侧的水平偏移量都为 $3$ 。左侧的 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形高为 $3$ ，所以其水平偏移量为 $\sqrt3$ 。因此 $DC=\sqrt3+AB+3=8+\sqrt3\text{。}$ 正确答案是 D。

Drop perpendiculars from $A$ and $B$ to $DC.$ Since $BC=3\sqrt2$ and the angle at $C$ is $45^\circ,$ both the height and the right horizontal offset are $3.$ The left $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangle has height $3,$ so its horizontal offset is $\sqrt3.$ Therefore $DC=\sqrt3+AB+3=8+\sqrt3.$ The correct answer is D.

9.

$4^{16}5^{25}$ （以通常的 $10$ 进制形式写出）的位数为

The number of digits in $4^{16}5^{25}$ (when written in the usual base $10$ form) is

$31$

$30$

$29$

$28$

$27$

知识点：指数数字 2的幂

难度评级：1750

小提示：

将 $4$ 的幂改写为 $2$ 的幂

Rewrite the power of $4$ as a power of $2$

大提示：

把 $25$ 个因数 $2$ 与 $25$ 个因数 $5$ 配对

Pair $25$ factors of $2$ with the $25$ factors of $5$

解答：

有 $\begin{aligned} 4^{16}5^{25} &=2^{32}5^{25}\\ &=2^7\cdot10^{25}\\ &=128\cdot10^{25} \end{aligned}\text{。}$ 这是 $128$ 后面跟着 $25$ 个零，所以共有 $3+25=28$ 位。正确答案是 D。

We have $\begin{aligned} 4^{16}5^{25} &=2^{32}5^{25}\\ &=2^7\cdot10^{25}\\ &=128\cdot10^{25}. \end{aligned}$ This is $128$ followed by $25$ zeros, so it has $3+25=28$ digits. Therefore, the correct answer is D.

10.

四个复数位于复平面上一个正方形的四个顶点。其中三个数为 $1+2i$ 、 $-2+i$ 、 $-1-2i$ 。第四个数为

Four complex numbers lie at the vertices of a square in the complex plane. Three of the numbers are $1+2i,$ $-2+i$ and $-1-2i.$ The fourth number is

$2+i$

$2-i$

$1-2i$

$-1+2i$

$-2-i$

知识点：复数正方形（几何）对称性

难度评级：1680

小提示：

所列顶点中有两个互为相反数

Two of the listed vertices are opposites

大提示：

它们的中点是正方形的中心，因此将剩余的已知顶点关于该点对称

Their midpoint is the square’s center, so reflect the remaining given vertex through that point

解答：

点 $1+2i$ 和 $-1-2i$ 是相对的顶点，所以它们的中点 $0$ 是正方形的中心。因此第四个顶点是 $-2+i$ 关于原点的对称点，即 $2-i$ 。

所以正确答案是 B。

The points $1+2i$ and $-1-2i$ are opposite vertices, so their midpoint $0$ is the center of the square. The fourth vertex is therefore the reflection of $-2+i$ through the origin, namely $2-i.$

Therefore, the correct answer is B.

11.

计算器上有一个按键，可将显示的数替换为它的平方；另一个按键可将显示的数替换为它的倒数。设 $y$ 为从非零数 $x\ne0$ 开始，交替进行平方和取倒数的操作且每种操作各进行 $n$ 次后的最终结果。假定计算器完全精确（例如，不存在舍入误差或溢出），则 $y$ 等于

A calculator has a key which replaces the displayed entry with its square, and another key which replaces the displayed entry with its reciprocal. Let $y$ be the final result if one starts with an entry $x\ne0$ and alternately squares and reciprocates $n$ times each. Assuming the calculator is completely accurate (e.g., no roundoff or overflow), then $y$ equals

$x^{(-2)^n}$

$x^{2n}$

$x^{-2n}$

$x^{-2^n}$

$x^{(-1)^n2n}$

知识点：指数过程模拟找规律

难度评级：1750

小提示：

只需追踪 $x$ 的指数

Track only the exponent of $x$

大提示：

每完成一组先平方再取倒数的操作，指数就乘以 $-2$

One squaring-reciprocating pair multiplies the exponent by $-2$

解答：

将显示的数写成 $x^e$ 。平方使 $e$ 变为 $2e$ ，随后取倒数使它变为 $-2e$ 。从 $e=1$ 开始，经过 $n$ 组这样的操作后，指数为 $(-2)^n$ 。因此 $y=x^{(-2)^n}$ 。

所以正确答案是 A。

Write the displayed value as $x^e.$ Squaring changes $e$ to $2e,$ and then reciprocating changes it to $-2e.$ Starting from $e=1,$ after $n$ such pairs the exponent is $(-2)^n.$ Thus $y=x^{(-2)^n}.$

Therefore, the correct answer is A.

12.

若数列 $\{a_n\}$ 定义为 $\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_{n+1}&=a_n+2n\quad(n\ge1) \end{aligned}\text{，}$ 则 $a_{100}$ 等于

If the sequence $\{a_n\}$ is defined by $\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_{n+1}&=a_n+2n\quad(n\ge1), \end{aligned}$ then $a_{100}$ equals

$9900$

$9902$

$9904$

$10100$

$10102$

知识点：递推等差数列求和

难度评级：1800

小提示：

将从 $a_1$ 到 $a_{100}$ 的所有增量相加

Add all increments from $a_1$ through $a_{100}$

大提示：

使用 $a_{100}=2+2(1+2+\cdots+99)$

Use $a_{100}=2+2(1+2+\cdots+99)$

解答：

将递推式逐项相消，得到 $\begin{aligned} a_{100} &=a_1+2\sum_{n=1}^{99}n\\ &=2+2\cdot\frac{99\cdot100}{2}\\ &=9902 \end{aligned}\text{。}$ 所以正确答案是 B。

Telescoping the recurrence gives $\begin{aligned} a_{100} &=a_1+2\sum_{n=1}^{99}n\\ &=2+2\cdot\frac{99\cdot100}{2}\\ &=9902. \end{aligned}$ Therefore, the correct answer is B.

13.

$\frac{2\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$ 等于

$\frac{2\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$ equals

$\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$

$4-\sqrt2-\sqrt3$

$\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6-5$

$\frac12(\sqrt2+\sqrt5-\sqrt3)$

$\frac13(\sqrt3+\sqrt5-\sqrt2)$

知识点：根式分母有理化代数变形

难度评级：2150

小提示：

将分母中的前两个根式组合起来

Group the first two radicals in the denominator

大提示：

将 $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5$ 乘以 $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$

Multiply $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5$ by $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$

解答：

注意 $\begin{aligned} &(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)\\ &\quad{}\cdot(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\\ &=(\sqrt2+\sqrt3)^2-5\\ &=2\sqrt6 \end{aligned}\text{。}$ 因此，该商为 $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5$ 。

所以正确答案是 A。

Observe that $\begin{aligned} &(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)\\ &\quad{}\cdot(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\\ &=(\sqrt2+\sqrt3)^2-5\\ &=2\sqrt6. \end{aligned}$ Hence the quotient is $\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5.$

Therefore, the correct answer is A.

14.

方程 $x^{\log_{10}x}=10$ 的所有实根之积为

The product of all real roots of the equation $x^{\log_{10}x}=10$ is

$1$

$-1$

$10$

$10^{-1}$

以上都不是

none of these

知识点：对数二次方程换元法

难度评级：1960

小提示：

对等式两边取以 $10$ 为底的对数

Take the base- $10$ logarithm of both sides

大提示：

令 $t=\log_{10}x$ ，并解所得关于 $t$ 的方程

Let $t=\log_{10}x$ and solve the resulting equation in $t$

解答：

对数要求 $x\gt0$ 。等式两边取以 $10$ 为底的对数，得到 $(\log_{10}x)^2=1\text{。}$ 因此 $\log_{10}x=\pm1$ ，所以两个根为 $10$ 和 $10^{-1}$ ，它们的积为 $1$ 。

所以正确答案是 A。

The logarithm requires $x\gt0.$ Taking base- $10$ logarithms gives $(\log_{10}x)^2=1.$ Thus $\log_{10}x=\pm1,$ so the two roots are $10$ and $10^{-1},$ whose product is $1.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

若 $\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x$ ，则 $x$ 的一个可能值为

If $\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x,$ then one value for $x$ is

$18^\circ$

$30^\circ$

$36^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

知识点：三角恒等式角度和

难度评级：1800

小提示：

将所有项移到等式一边，并识别余弦的和角公式

Move all terms to one side and recognize a cosine addition identity

大提示：

使用 $\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x$ $=\cos5x$

Use $\cos2x\cos3x-\sin2x\sin3x$ $=\cos5x$

解答：

原方程等价于 $\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $5x=90^\circ+180^\circ k$ 。取 $k=0$ ，得到题目所列的值 $x=18^\circ$ 。

所以正确答案是 A。

The equation is equivalent to $\begin{aligned} &\cos2x\cos3x\\ &\quad-\sin2x\sin3x\\ &=\cos5x=0. \end{aligned}$ Therefore $5x=90^\circ+180^\circ k.$ Taking $k=0$ gives $x=18^\circ,$ the listed value.

Therefore, the correct answer is A.

16.

函数 $f(x)$ 满足 $f(2+x)=f(2-x)$ ，其中 $x$ 为任意实数。若方程 $f(x)=0$ 恰有四个互不相同的实根，则这些根的和为

The function $f(x)$ satisfies $f(2+x)=f(2-x)$ for all real numbers $x.$ If the equation $f(x)=0$ has exactly four distinct real roots, then the sum of these roots is

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

知识点：函数方程对称性（代数）配对与分组

难度评级：1800

小提示：

该等式说明函数图像关于 $x=2$ 对称

The equation makes the graph symmetric about $x=2$

大提示：

将每个根 $2+r$ 与其对称根 $2-r$ 配对

Pair each root $2+r$ with its reflected root $2-r$

解答：

该关系说明，每个根 $2+r$ 都与根 $2-r$ 配对。因此，四个互不相同的根组成两对，每对的和为 $4$ 。四个根之和为 $2\cdot4=8$ 。

所以正确答案是 E。

The relation shows that every root $2+r$ is paired with $2-r.$ Four distinct roots therefore form two such pairs, and each pair has sum $4.$ The sum of all four roots is $2\cdot4=8.$

Therefore, the correct answer is E.

17.

直角三角形 $ABC$ 的斜边为 $AB$ ，且 $AC=15$ 。高 $CH$ 将 $AB$ 分成线段 $AH$ 和 $HB$ ，其中 $HB=16$ 。 $\triangle ABC$ 的面积为

A right triangle $ABC$ with hypotenuse $AB$ has side $AC=15.$ Altitude $CH$ divides $AB$ into segments $AH$ and $HB,$ with $HB=16.$ The area of $\triangle ABC$ is

$120$

$144$

$150$

$216$

$144\sqrt5$

知识点：直角三角形高线相似三角形面积

难度评级：1920

小提示：

使用直角三角形的射影定理 $AC^2=AH\cdot AB$

Use the right-triangle projection relation $AC^2=AH\cdot AB$

大提示：

求出 $AH$ 后，使用 $CH^2=AH\cdot HB$

After finding $AH,$ use $CH^2=AH\cdot HB$

解答：

令 $AH=h$ 。由直角三角形中的相似关系可得 $\begin{aligned} AC^2&=AH\cdot AB,\\ 225&=h(h+16) \end{aligned}\text{，}$ 所以 $h=9$ 。因此 $AB=25$ 。又有 $CH=\sqrt{AH\cdot HB}$ ，所以 $CH=\sqrt{9\cdot16}=12$ 。面积为 $\frac12\cdot25\cdot12=150$ 。

所以正确答案是 C。

Let $AH=h.$ Similarity in the right triangle gives $\begin{aligned} AC^2&=AH\cdot AB,\\ 225&=h(h+16), \end{aligned}$ so $h=9.$ Hence $AB=25.$ Also $CH=\sqrt{AH\cdot HB},$ so $CH=\sqrt{9\cdot16}=12.$ The area is $\frac12\cdot25\cdot12=150.$

Therefore, the correct answer is C.

18.

在坐标平面内选取一点 $(x,y)$ ，使它到 $x$ 轴、 $y$ 轴以及直线 $x+y=2$ 的距离都相等。则 $x$

A point $(x,y)$ is to be chosen in the coordinate plane so that it is equally distant from the $x$ -axis, the $y$ -axis, and the line $x+y=2.$ Then $x$ is

$\sqrt2-1$

$\frac12$

$2-\sqrt2$

$1$

不能唯一确定

not uniquely determined

知识点：距离公式角平分线反例

难度评级：2130

小提示：

到两坐标轴距离相等意味着 $|x|=|y|$

Equal distance from the two axes forces $|x|=|y|$

大提示：

分别检查直线 $y=x$ 和 $y=-x$

Check both lines $y=x$ and $y=-x$

解答：

到两坐标轴距离相等给出 $y=x$ 或 $y=-x$ 。在 $y=-x$ 上，到直线 $x+y=2$ 的距离为 $\sqrt2$ ，所以 $(\sqrt2,-\sqrt2)$ 和 $(-\sqrt2,\sqrt2)$ 都满足三个距离条件。它们的 $x$ 坐标不同，所以 $x$ 不能唯一确定。

所以正确答案是 E。

Equal distance from the axes gives $y=x$ or $y=-x.$ On $y=-x,$ the distance to the line $x+y=2$ is $\sqrt2,$ so both $(\sqrt2,-\sqrt2)$ and $(-\sqrt2,\sqrt2)$ satisfy all three distance conditions. Their $x$ -coordinates differ, so $x$ is not uniquely determined.

Therefore, the correct answer is E.

19.

盒中有 $11$ 个球，编号依次为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\ldots$ 、 $11$ 。若同时随机取出 $6$ 个球，所取球上数字之和为奇数的概率是多少？

A box contains $11$ balls, numbered $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $11.$ If $6$ balls are drawn simultaneously at random, what is the probability that the sum of the numbers on the balls drawn is odd?

$\frac{100}{231}$

$\frac{115}{231}$

$\frac12$

$\frac{118}{231}$

$\frac6{11}$

知识点：组合奇偶性无放回抽样

难度评级：2070

小提示：

有 $6$ 个编号为奇数的球和 $5$ 个编号为偶数的球

There are $6$ odd-numbered balls and $5$ even-numbered balls

大提示：

计算取出 $1$ 、 $3$ 或 $5$ 个奇数球的选法数

Count selections containing $1,$ $3,$ or $5$ odd balls

解答：

六个所选球的数字之和为奇数，要求其中编号为奇数的球有奇数个。有 $6$ 个奇数球和 $5$ 个偶数球，所以有利选法数为 $\begin{aligned} &\binom61\binom55+\binom63\binom53\\ &\quad+\binom65\binom51\\ &=6+200+30=236 \end{aligned}\text{。}$ 全部 $\binom{11}{6}=462$ 种选法中，所求概率为 $\frac{236}{462}=\frac{118}{231}$ 。

所以正确答案是 D。

An odd sum requires an odd number of the six selected balls to be odd. There are $6$ odd and $5$ even balls, so the favorable count is $\begin{aligned} &\binom61\binom55+\binom63\binom53\\ &\quad+\binom65\binom51\\ &=6+200+30=236. \end{aligned}$ Of the $\binom{11}{6}=462$ selections, the desired probability is $\frac{236}{462}=\frac{118}{231}.$

Therefore, the correct answer is D.

20.

方程 $\left|x-|2x+1|\right|=3$ 的不同解的个数为

The number of distinct solutions of the equation $\left|x-|2x+1|\right|=3$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

知识点：绝对值分类讨论一次方程

难度评级：1720

小提示：

将外层绝对值拆成两个方程

Split the outer absolute value into two equations

大提示：

对每个方程，先将 $|2x+1|$ 单独移到一边，再分别检验两种情形

For each equation, isolate $|2x+1|$ before checking its two cases

解答：

若 $x-|2x+1|=3$ ，则 $|2x+1|=x-3$ ，这要求 $x\ge3$ ，但求解后没有符合条件的解。若 $x-|2x+1|=-3$ ，则 $|2x+1|=x+3$ 。分别解两个线性方程，得到 $x=2$ 和 $x=-\frac{4}{3}$ ，二者都符合条件。因此，共有 $2$ 个不同的解。

所以正确答案是 C。

If $x-|2x+1|=3,$ then $|2x+1|=x-3,$ which requires $x\ge3$ and yields no solution. If $x-|2x+1|=-3,$ then $|2x+1|=x+3.$ Its two linear cases give $x=2$ and $x=-\frac{4}{3},$ both valid. Thus there are $2$ distinct solutions.

Therefore, the correct answer is C.

21.

满足联立方程 $\begin{aligned} ab+bc&=44,\\ ac+bc&=23 \end{aligned}$ 的正整数三元组 $(a,b,c)$ 的个数为

The number of triples $(a,b,c)$ of positive integers which satisfy the simultaneous equations $\begin{aligned} ab+bc&=44,\\ ac+bc&=23. \end{aligned}$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

知识点：丢番图方程因数换元法

难度评级：1960

小提示：

将第二个方程因式分解为 $c(a+b)=23$

Factor the second equation as $c(a+b)=23$

大提示：

利用 $23$ 是素数以及各变量为正数，确定 $c$ 和 $a+b$

Use the primality of $23$ and positivity to determine $c$ and $a+b$

解答：

由于 $c(a+b)=23$ ，且所有变量都是正整数，所以 $c=1$ ，且 $a+b=23$ 。将 $b=23-a$ 代入 $ab+b=44$ 。于是 $(23-a)(a+1)=44\text{，}$ 即 $a^2-22a+21=0$ ，所以 $a=1$ 或 $21$ 。每种情形都会得到正整数 $b$ ，因此恰有两个三元组。

所以正确答案是 C。

Since $c(a+b)=23$ and all variables are positive integers, $c=1$ and $a+b=23.$ Put $b=23-a$ in $ab+b=44.$ Then $(23-a)(a+1)=44,$ or $a^2-22a+21=0,$ so $a=1$ or $21.$ Each gives a positive $b,$ producing exactly two triples.

Therefore, the correct answer is C.

22.

设 $a$ 和 $c$ 为固定的正数。对每个实数 $t$ ，设 $(x_t,y_t)$ 为抛物线 $y=ax^2+tx+c$ 的顶点。若将顶点集合 $(x_t,y_t)$ （其中 $t$ 取所有实数）画在平面上，则所得图形是

Let $a$ and $c$ be fixed positive numbers. For each real number $t$ let $(x_t,y_t)$ be the vertex of the parabola $y=ax^2+tx+c.$ If the set of vertices $(x_t,y_t)$ for all real values of $t$ is graphed in the plane, the graph is

一条直线

a straight line

一条抛物线

a parabola

抛物线的一部分，但不是整条抛物线

part, but not all, of a parabola

双曲线的一支

one branch of a hyperbola

以上都不是

none of these

知识点：抛物线配方法坐标几何

难度评级：1960

小提示：

用 $t$ 表示顶点坐标

Write the vertex coordinates in terms of $t$

大提示：

利用 $x_t=-\frac{t}{2a}$ 将 $t$ 从 $y_t$ 中消去

Use $x_t=-\frac{t}{2a}$ to eliminate $t$ from $y_t$

解答：

顶点坐标为 $x_t=-\frac{t}{2a},\qquad y_t=c-\frac{t^2}{4a}\text{。}$ 由于 $t=-2ax_t$ ，消去 $t$ 得到 $y_t=c-ax_t^2$ 。当 $t$ 遍历所有实数时， $x_t$ 也遍历所有实数，因此描出了整条抛物线。

所以正确答案是 B。

The vertex coordinates are $x_t=-\frac{t}{2a},\qquad y_t=c-\frac{t^2}{4a}.$ Since $t=-2ax_t,$ eliminating $t$ gives $y_t=c-ax_t^2.$ As $t$ ranges over all reals, so does $x_t,$ so the entire parabola is traced.

Therefore, the correct answer is B.

23.

$\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ+\cos20^\circ}$ 等于

$\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ}{\cos10^\circ+\cos20^\circ}$ equals

$\tan10^\circ+\tan20^\circ$

$\tan30^\circ$

$\frac12(\tan10^\circ+\tan20^\circ)$

$\tan15^\circ$

$\frac14\tan60^\circ$

知识点：三角恒等式代数变形

难度评级：2130

小提示：

对分子和分母都使用和差化积公式

Apply the sum-to-product identities to both numerator and denominator

大提示：

变换后的两个和式都含有相同的因子 $\cos5^\circ$

Both transformed sums contain the same $\cos5^\circ$ factor

解答：

设 $R$ 表示所给比值。由和差化积公式， $\begin{aligned} R&=\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ} {\cos10^\circ+\cos20^\circ},\\ R&=\frac{2\sin15^\circ\cos5^\circ} {2\cos15^\circ\cos5^\circ}\\ &=\tan15^\circ \end{aligned}\text{。}$ 所以正确答案是 D。

Let $R$ denote the given ratio. By the sum-to-product identities, $\begin{aligned} R&=\frac{\sin10^\circ+\sin20^\circ} {\cos10^\circ+\cos20^\circ},\\ R&=\frac{2\sin15^\circ\cos5^\circ} {2\cos15^\circ\cos5^\circ}\\ &=\tan15^\circ. \end{aligned}$ Therefore, the correct answer is D.

24.

若 $a$ 和 $b$ 为正实数，且下列两个方程 $\begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned}$ 都有实根，则 $a+b$ 的最小可能值为

If $a$ and $b$ are positive real numbers and each of the equations $\begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned}$ has real roots, then the smallest possible value of $a+b$ is

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

知识点：二次方程不等式

难度评级：2240

小提示：

要求两个二次方程的判别式都非负

Require both quadratic discriminants to be nonnegative

大提示：

结合 $a^2\ge8b$ 和 $b^2\ge a$ ，限定 $a$ 和 $b$ 的范围

Combine $a^2\ge8b$ and $b^2\ge a$ to bound $a$ and $b$

解答：

两个判别式给出 $a^2\ge8b$ 和 $b^2\ge a$ 。因此 $a^4\ge64b^2\ge64a\text{。}$ 由于 $a\gt0$ ，可得 $a\ge4$ ；进而由 $b^2\ge a\ge4$ 得 $b\ge2$ 。所以 $a+b\ge6$ 。当 $a=4,b=2$ 时取等号，此时两个判别式都为零。

所以正确答案是 E。

The two discriminants give $a^2\ge8b$ and $b^2\ge a.$ Therefore $a^4\ge64b^2\ge64a.$ Since $a\gt0,$ this yields $a\ge4,$ and then $b^2\ge a\ge4$ gives $b\ge2.$ Thus $a+b\ge6.$ Equality occurs at $a=4,b=2,$ for which both discriminants are zero.

Therefore, the correct answer is E.

25.

一个长方体所有面的总面积为 $22\text{ cm}^2$ ，所有棱的总长度为 $24\text{ cm}$ 。那么它任意一条体对角线的长度（单位：厘米）为

The total area of all the faces of a rectangular solid is $22\text{ cm}^2,$ and the total length of all its edges is $24\text{ cm}.$ Then the length in cm of any one of its internal diagonals is

$\sqrt{11}$

$\sqrt{12}$

$\sqrt{13}$

$\sqrt{14}$

不能唯一确定

not uniquely determined

知识点：长方体表面积对角线

难度评级：1770

小提示：

设三条棱长为 $x,y,z$ ，并将两个总量分别写成方程

Let the side lengths be $x,y,z$ and translate both totals into equations

大提示：

展开 $(x+y+z)^2$ ，求出 $x^2+y^2+z^2$

Expand $(x+y+z)^2$ to find $x^2+y^2+z^2$

解答：

条件给出 $2(xy+xz+yz)=22$ 和 $4(x+y+z)=24$ ，所以 $xy+xz+yz=11$ ，且 $x+y+z=6$ 。因此，一条体对角线长度的平方为 $x^2+y^2+z^2=6^2-2(11)=14\text{。}$ 其长度为 $\sqrt{14}$ 。

所以正确答案是 D。

The conditions give $2(xy+xz+yz)=22$ and $4(x+y+z)=24,$ so $xy+xz+yz=11$ and $x+y+z=6.$ Hence the square of an internal diagonal is $x^2+y^2+z^2=6^2-2(11)=14.$ Its length is $\sqrt{14}.$

Therefore, the correct answer is D.

26.

在钝角三角形 $ABC$ 中， $AM=MB$ 、 $MD\perp BC$ 、 $EC\perp BC$ 。若 $\triangle ABC$ 的面积为 $24$ ，则 $\triangle BED$ 的面积为

In the obtuse triangle $ABC,$ $AM=MB,$ $MD\perp BC,$ $EC\perp BC.$ If the area of $\triangle ABC$ is $24,$ then the area of $\triangle BED$ is

$9$

$12$

$15$

$18$

不能唯一确定

not uniquely determined

知识点：三角形面积中点面积分割

难度评级：1960

小提示：

连接线段 $MC$ ，并比较 $\triangle DMC$ 与 $\triangle DME$

Draw segment $MC$ and compare $\triangle DMC$ with $\triangle DME$

大提示：

这两个三角形具有相同的底 $MD$ 和相等的高；此外， $M$ 是 $AB$ 的中点

Those triangles have the same base $MD$ and equal altitudes; also $M$ is the midpoint of $AB$

解答：

连接 $MC$ 。由于 $EC\parallel MD$ ，点 $E$ 和 $C$ 到 $MD$ 的垂直距离相等，所以 $[DME]=[DMC]$ 。因此 $\begin{aligned} [BED]&=[BMD]+[DME]\\ &=[BMD]+[DMC]\\ &=[BMC] \end{aligned}\text{。}$ 因为 $M$ 是 $AB$ 的中点，所以三角形 $BMC$ 的面积是 $ABC$ 面积的一半。因此 $[BED]=12$ 。

所以正确答案是 B。

Draw $MC.$ Since $EC\parallel MD,$ points $E$ and $C$ have equal perpendicular distances from $MD,$ so $[DME]=[DMC].$ Therefore $\begin{aligned} [BED]&=[BMD]+[DME]\\ &=[BMD]+[DMC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}$ Because $M$ is the midpoint of $AB,$ triangle $BMC$ has half the area of $ABC.$ Thus $[BED]=12.$

Therefore, the correct answer is B.

27.

在 $\triangle ABC$ 中， $D$ 在 $AC$ 上， $F$ 在 $BC$ 上。此外， $AB\perp AC$ 、 $AF\perp BC$ ，且 $BD=DC=FC=1$ 。求 $AC$ 。

In $\triangle ABC,$ $D$ is on $AC$ and $F$ is on $BC.$ Also, $AB\perp AC,$ $AF\perp BC,$ and $BD=DC=FC=1.$ Find $AC.$

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[4]{3}$

知识点：直角三角形相似余弦定理

难度评级：2350

小提示：

令 $AC=s$ ，并使用直角三角形中斜边与高的相似关系

Let $AC=s$ and use the altitude-to-hypotenuse similarity relation

大提示：

然后比较 $\cos\angle ACB$ 在直角三角形 $ABC$ 和等腰三角形 $BDC$ 中的表达式

Then compare $\cos\angle ACB$ in right triangle $ABC$ and isosceles triangle $BDC$

解答：

令 $AC=s$ 。由直角三角形的射影定理可得 $AC^2=FC\cdot BC\text{，}$ 所以 $BC=s^2$ 。由于 $BD=DC=1$ ，余弦定理中的分子和分母分别满足 $\begin{aligned} BC^2+DC^2-BD^2&=s^4,\\ 2(BC)(DC)&=2s^2 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\cos\angle BCD=\frac{s^2}{2}$ 。但 $D$ 在 $AC$ 上，并且在直角三角形 $ABC$ 中， $\cos\angle BCA=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{s}$ 。所以 $\frac{s^2}{2}=\frac{1}{s}$ ，从而 $s^3=2$ ，且 $AC=\sqrt[3]{2}$ 。

所以正确答案是 C。

Let $AC=s.$ The right-triangle projection relation gives $AC^2=FC\cdot BC,$ so $BC=s^2.$ Since $BD=DC=1,$ the numerator and denominator in the Law of Cosines satisfy $\begin{aligned} BC^2+DC^2-BD^2&=s^4,\\ 2(BC)(DC)&=2s^2. \end{aligned}$ Hence $\cos\angle BCD=\frac{s^2}{2}.$ But $D$ lies on $AC,$ and in right triangle $ABC,$ $\cos\angle BCA=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{s}.$ Thus $\frac{s^2}{2}=\frac{1}{s},$ so $s^3=2$ and $AC=\sqrt[3]{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

28.

满足 $\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}$ 的不同整数对 $(x,y)$ 的个数为

The number of distinct pairs of integers $(x,y)$ such that $\begin{aligned} 0&\lt x\lt y,\\ \sqrt{1984}&=\sqrt{x}+\sqrt{y} \end{aligned}$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$7$

知识点：根式完全平方数数对计数

难度评级：2380

小提示：

利用 $1984=31\cdot8^2$ ，并将两个被开方数写成具有相同无平方因子部分的形式

Use $1984=31\cdot8^2$ and write both radicands with a common squarefree part

大提示：

令 $x=31u^2,\ y=31v^2$ ，并计算满足 $u\lt v$ 且 $u+v=8$ 的正整数的组数

Set $x=31u^2,\ y=31v^2$ and count positive integers $u\lt v$ with $u+v=8$

解答：

因为 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31}$ ，两个根式必须具有相同的无平方因子部分 $31$ 。写成 $x=31u^2$ 和 $y=31v^2$ ，其中 $u,v$ 为正整数。于是 $u+v=8,\qquad u\lt v\text{。}$ 可能的情况为 $(u,v)=(1,7)$ 、 $(2,6)$ 、 $(3,5)$ ，得到三个不同的整数对 $(x,y)$ 。

所以正确答案是 D。

Because $\sqrt{x}+\sqrt{y}=8\sqrt{31},$ the two radicals must have common squarefree part $31.$ Write $x=31u^2$ and $y=31v^2$ for positive integers $u,v.$ Then $u+v=8,\qquad u\lt v.$ The possibilities are $(u,v)=(1,7),$ $(2,6),$ and $(3,5),$ producing three distinct pairs $(x,y).$

Therefore, the correct answer is D.

29.

求 $\frac{y}{x}$ 的最大值，其中实数对 $(x,y)$ 满足 $(x-3)^2+(y-3)^2=6\text{。}$

Find the largest value of $\frac{y}{x}$ for pairs of real numbers $(x,y)$ which satisfy $(x-3)^2+(y-3)^2=6.$

$3+2\sqrt2$

$2+\sqrt3$

$3\sqrt3$

$6$

$6+2\sqrt3$

知识点：圆斜率切线最优化

难度评级：2240

小提示：

将 $\frac{y}{x}$ 理解为一条过原点直线的斜率

Interpret $\frac{y}{x}$ as the slope of a line through the origin

大提示：

斜率取极值时，直线 $y=mx$ 与圆相切

At an extreme slope, the line $y=mx$ is tangent to the circle

解答：

该圆全部位于 $x\gt0$ 的区域内，所以 $\frac{y}{x}$ 是斜率 $m$ ，相应直线 $y=mx$ 经过圆上一点。取极值时，这条直线与圆相切。圆心 $(3,3)$ 到直线 $mx-y=0$ 的距离必须等于 $\sqrt6$ ，因此 $\frac{|3m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt6\text{。}$ 两边平方并化简，得到 $m^2-6m+1=0$ ，所以 $m=3\pm2\sqrt2$ 。较大的值为 $3+2\sqrt2$ 。

所以正确答案是 A。

The circle lies entirely where $x\gt0,$ so $\frac{y}{x}$ is the slope $m$ of the line $y=mx$ through a point on it. At an extreme, this line is tangent. The distance from the center $(3,3)$ to $mx-y=0$ must equal $\sqrt6,$ so $\frac{|3m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt6.$ Squaring and simplifying gives $m^2-6m+1=0,$ hence $m=3\pm2\sqrt2.$ The larger value is $3+2\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is A.

30.

对任意复数 $w=a+bi$ ，将 $|w|$ 定义为实数 $\sqrt{a^2+b^2}$ 。若 $w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ$ ，则 $|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}$ 等于

For any complex number $w=a+bi,$ $|w|$ is defined to be the real number $\sqrt{a^2+b^2}.$ If $w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ,$ then $|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}$ equals

$\frac19\sin40^\circ$

$\frac29\sin20^\circ$

$\frac19\cos40^\circ$

$\frac1{18}\cos20^\circ$

以上都不是

none of these

知识点：复数单位根差比数列

难度评级：2460

小提示：

令 $S=w+2w^2+\cdots+9w^9$ ，再把 $wS$ 从 $S$ 中减去

Let $S=w+2w^2+\cdots+9w^9$ and subtract $wS$ from $S$

大提示：

使用 $w^9=1$ 和 $|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})$

Use $w^9=1$ and $|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})$

解答：

令 $S=\sum_{k=1}^9kw^k$ 。由于 $w^9=1$ ，且 $w^{10}=w$ ， $\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w \end{aligned}\text{。}$ 所以 $|S|=\frac{9}{|1-w|}$ ，这是因为 $|w|=1$ 。因此 $|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ\text{。}$ 所以正确答案是 B。

Let $S=\sum_{k=1}^9kw^k.$ Since $w^9=1$ and $w^{10}=w,$ $\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w. \end{aligned}$ Therefore $|S|=\frac{9}{|1-w|},$ because $|w|=1.$ Thus $|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ.$ Therefore, the correct answer is B.