Question

圆内两条平行弦的长度分别为 $10$ 和 $14$ ，它们之间的距离为 $6$ 。另有一条弦与它们平行，并且位于它们正中间，其长度为 $\sqrt a$ 。则 $a$ 是

Two parallel chords in a circle have lengths $10$ and $14,$ and the distance between them is $6.$ The chord parallel to these chords and midway between them is of length $\sqrt a,$ where $a$ is

$144$

$156$

$168$

$176$

$184$

答案：E

知识点：circle chords 坐标几何

难度评级：2290

小提示：

若一条弦到圆心的有向距离为 $y$ ，其半弦长满足 $h^2+y^2=r^2$

If a chord is at signed distance $y$ from the center, its half-length satisfies $h^2+y^2=r^2$

大提示：

设长为 $14$ 与 $10$ 的两条弦到圆心的有向距离相差 $6$ ，再将两式相减

Let the signed distances of the $14$ - and $10$ -chords differ by $6$ , and subtract their equations

解答：

设圆心到长为 $14$ 和 $10$ 的弦的有向距离分别为 $u$ 和 $v$ ，且 $u-v=6$ 。则 $r^2-u^2=7^2,\qquad r^2-v^2=5^2\text{。}$ 因此 $v^2-u^2=24$ ，所以 $(v-u)(v+u)=24$ 。由于 $v-u=-6$ ，可得 $u+v=-4$ ，进而 $u=1$ ，且 $v=-5$ 。中间那条弦的有向距离为 $-2$ ，而 $r^2=49+1=50$ 。它的长度平方为 $4(50-4)=184$ ，所以 $a=184$ 。因此正确答案是 E。

Let the signed distances from the center to the $14$ - and $10$ -chords be $u$ and $v,$ with $u-v=6.$ Then $r^2-u^2=7^2,\qquad r^2-v^2=5^2.$ Hence $v^2-u^2=24,$ so $(v-u)(v+u)=24.$ Since $v-u=-6,$ we get $u+v=-4,$ and therefore $u=1$ and $v=-5.$ The midway chord is at signed distance $-2,$ while $r^2=49+1=50.$ Its squared length is $4(50-4)=184,$ so $a=184.$ Thus the correct answer is E.

1995 AMC 12 第 28 题

答案：E

难度评级：2290

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题