Question

如图，在三角形 $ABC$ 中， $M$ 是边 $BC$ 的中点， $AB=12$ 、 $AC=16$ 。点 $E$ 和 $F$ 分别取在 $AC$ 和 $AB$ 上，直线 $EF$ 与 $AM$ 交于 $G$ 。若 $AE=2AF$ ，则 $\frac{EG}{GF}$ 等于

In triangle $ABC$ shown in the adjoining figure, $M$ is the midpoint of side $BC,$ $AB=12,$ and $AC=16.$ Points $E$ and $F$ are taken on $AC$ and $AB,$ respectively, and lines $EF$ and $AM$ intersect at $G.$ If $AE=2AF,$ then $\frac{EG}{GF}$ equals

$\frac32$

$\frac43$

$\frac54$

$\frac65$

所给信息不足以求解

not enough information given to solve the problem

答案：A

知识点：向量中线（几何）比与比例

难度评级：2180

小提示：

将 $B,C$ 分别表示为向量 $\mathbf b,\mathbf c$ ，它们均从 $A$ 出发

Represent $B,C$ by vectors $\mathbf b,\mathbf c$ from $A$

大提示：

若 $F=t\mathbf b$ ，则 $E=\frac32t\mathbf c$ ；令该点在 $\mathbf b,\mathbf c$ 方向的系数相等，使其同时位于 $EF$ 与 $AM$ 上

If $F=t\mathbf b,$ then $E=\frac32t\mathbf c;$ equate the $\mathbf b,\mathbf c$ coefficients of a point on $EF$ and on $AM$

解答：

将 $A$ 置于原点，并将 $B,C$ 的位置向量分别记为 $\mathbf b,\mathbf c$ 。若 $F=t\mathbf b$ ，则 $AF=12t$ 、 $AE=24t$ ，所以 $E=(\frac{3t}{2})\mathbf c$ 。令 $G=(1-u)F+uE$ 。因为 $G$ 也位于中线 $AM$ 上，所以它在 $\mathbf b$ 与 $\mathbf c$ 方向的系数相等： $(1-u)t=\frac32ut\text{。}$ 因此 $u=\frac{2}{5}$ 。沿着 $FE,\frac{FG}{FE}=\frac{2}{5}$ ，并有 $\frac{EG}{FE}=\frac{3}{5}$ ，所以 $\frac{EG}{GF}=\frac{3}{2}$ 。

因此，正确答案是 A。

Put $A$ at the origin and write the position vectors of $B,C$ as $\mathbf b,\mathbf c.$ If $F=t\mathbf b,$ then $AF=12t$ and $AE=24t,$ so $E=(\frac{3t}{2})\mathbf c.$ Write $G=(1-u)F+uE.$ Because $G$ also lies on the median $AM,$ its $\mathbf b$ and $\mathbf c$ coefficients are equal: $(1-u)t=\frac32ut.$ Hence $u=\frac{2}{5}.$ Along $FE,\frac{FG}{FE}=\frac{2}{5}$ and $\frac{EG}{FE}=\frac{3}{5},$ so $\frac{EG}{GF}=\frac{3}{2}.$

Therefore, the correct answer is A.

1975 AMC 12 第 28 题

答案：A

难度评级：2180

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题