Question

在 $xy$ 平面内，有多少条 $x$ 轴截距为正质数、 $y$ 轴截距为正整数的直线经过点 $(4,3)$ ？

In the $xy$ -plane, how many lines whose $x$ -intercept is a positive prime number and whose $y$ -intercept is a positive integer pass through the point $(4,3)?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：C

知识点：intercept form primes 整除性

难度评级：1960

小提示：

设两个截距分别为 $p$ 和 $q$ ，并使用 $\frac{4}{p}+\frac{3}{q}=1$

Let the intercepts be $p$ and $q$ , and use $\frac{4}{p}+\frac{3}{q}=1$

大提示：

整理成 $q=3+\frac{12}{p-4}$

Rearrange to $q=3+\frac{12}{p-4}$

解答：

设 $x$ 轴截距为质数 $p$ ， $y$ 轴截距为正整数 $q$ 。截距式给出 $\begin{gathered} \frac4p+\frac3q=1, \\ q=\frac{3p}{p-4}=3+\frac{12}{p-4} \end{gathered}\text{。}$ 因此 $p-4$ 是 $12$ 的正因数。检验 $1,2,3,4,6,12$ ，只有质数 $p$ 对应 $p=5$ 和 $p=7$ 。所以共有 $2$ 条直线。因此正确答案是 C。

Let the $x$ -intercept be the prime $p$ and the $y$ -intercept be the positive integer $q.$ Intercept form gives $\begin{gathered} \frac4p+\frac3q=1, \\ q=\frac{3p}{p-4}=3+\frac{12}{p-4}. \end{gathered}$ Thus $p-4$ is a positive divisor of $12.$ Testing $1,2,3,4,6,12$ gives prime $p$ only for $p=5$ and $p=7.$ Therefore there are $2$ lines. Thus the correct answer is C.

1994 AMC 12 第 28 题

答案：C

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 28 题