Question

En la figura, $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ son diámetros de la circunferencia de centro $O,$ $\overline{AB}\perp\overline{CD},$ y la cuerda $\overline{DF}$ corta a $\overline{AB}$ en $E.$ Si $DE=6$ y $EF=2,$ entonces el área del círculo es

In the figure, $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are diameters of the circle with center $O,$ $\overline{AB}\perp\overline{CD},$ and chord $\overline{DF}$ intersects $\overline{AB}$ at $E.$ If $DE=6$ and $EF=2,$ then the area of the circle is

$23\pi$

$\frac{47}2\pi$

$24\pi$

$\frac{49}2\pi$

$25\pi$

Respuesta: C

Conceptos:intersecting chords coordinates circles

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

El teorema de las cuerdas que se intersecan da $AE\cdot EB=DE\cdot EF$

Intersecting chords gives $AE\cdot EB=DE\cdot EF$

Pista grande:

Coloca $O$ en el origen y expresa $F$ usando que $E$ divide $\overline{DF}$ en razón $3:1$

Place $O$ at the origin and express $F$ using the fact that $E$ divides $\overline{DF}$ in a $3:1$ ratio

Solución:

Sea $r$ el radio y $OE=x.$ El teorema de las cuerdas da $(r+x)(r-x)=6\cdot2,$ así que $r^2-x^2=12.$ Toma $O=(0,0),$ $D=(0,-r),$ y $E=(x,0).$ Como $DE:EF=3:1,$ $\begin{aligned} F&=D+\frac43(E-D)\\ &=\left(\frac{4x}{3},\frac r3\right). \end{aligned}$ Como $F$ está en la circunferencia, $\frac{16x^2}{9}+\frac{r^2}{9}=r^2,$ por lo que $r^2=2x^2.$ Así, $x^2=12$ y $r^2=24.$ El área es $24\pi,$ y la respuesta correcta es C.

Let the radius be $r$ and $OE=x.$ Intersecting chords gives $(r+x)(r-x)=6\cdot2,$ so $r^2-x^2=12.$ Put $O=(0,0),$ $D=(0,-r),$ and $E=(x,0).$ Since $DE:EF=3:1,$ $\begin{aligned} F&=D+\frac43(E-D)\\ &=\left(\frac{4x}{3},\frac r3\right). \end{aligned}$ Because $F$ lies on the circle, $\frac{16x^2}{9}+\frac{r^2}{9}=r^2,$ so $r^2=2x^2.$ Therefore $x^2=12$ and $r^2=24.$ The area is $24\pi,$ so the correct answer is C.

1995 AMC 12 Problema 26

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 26 en otros años