Question

El número de intersecciones con el eje $x$ en la gráfica de $y = \sin(1/x)$ en el intervalo $(0.0001, 0.001)$ es más cercano a

The number of $x$ -intercepts on the graph of $y = \sin(1/x)$ in the interval $(0.0001, 0.001)$ is closest to

$2900$

$3000$

$3100$

$3200$

$3300$

Solución:

Las intersecciones ocurren donde $1/x = k\pi,$ es decir $x = \dfrac{1}{k\pi}$ para un entero no nulo $k.$

La condición $0.0001 \lt \dfrac{1}{k\pi} \lt 0.001$ se convierte en $\frac{1000}{\pi} \lt k \lt \frac{10000}{\pi}.$

El número de tales enteros es $\begin{aligned} &\left\lfloor \frac{10000}{\pi} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1000}{\pi} \right\rfloor \\ &= 3183 - 318 = 2865, \end{aligned}$ lo más cercano a $2900.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The intercepts occur where $1/x = k\pi,$ that is $x = \dfrac{1}{k\pi}$ for a nonzero integer $k.$

The condition $0.0001 \lt \dfrac{1}{k\pi} \lt 0.001$ becomes $\frac{1000}{\pi} \lt k \lt \frac{10000}{\pi}.$

The number of such integers is $\begin{aligned} &\left\lfloor \frac{10000}{\pi} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1000}{\pi} \right\rfloor \\ &= 3183 - 318 = 2865, \end{aligned}$ closest to $2900.$

Thus, the correct answer is A.

2003 AMC 12B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años