Question

¿Cuántos cuadrados perfectos son divisores del producto $1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 9!\,$ ?

How many perfect squares are divisors of the product $1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 9!\,?$

$504$

$672$

$864$

$936$

$1008$

El producto es $1! \cdot 2! \cdots 9! = 2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}.$

Un divisor cuadrado tiene la forma $2^{2a}3^{2b}5^{2c}7^{2d}$ con $0\le a\le15,$ $0\le b\le6,$ $0\le c\le2,$ y $0\le d\le1.$

El número de elecciones es $16\cdot7\cdot3\cdot2=672.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The product is $1! \cdot 2! \cdots 9! = 2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}.$

A perfect-square divisor has the form $2^{2a}3^{2b}5^{2c}7^{2d}$ with $0\le a\le15,$ $0\le b\le6,$ $0\le c\le2,$ and $0\le d\le1.$

The number of choices is $16\cdot7\cdot3\cdot2=672.$

Thus, the correct answer is B.