Question

Se lanzan tres bolas de forma aleatoria e independiente en contenedores numerados con los enteros positivos, de modo que para cada bola la probabilidad de que caiga en el contenedor $i$ es $2^{-i}$ para $i=1,2,3,\ldots.$ Se permite más de una bola en cada contenedor. La probabilidad de que las bolas terminen equidistantes en contenedores distintos es $\dfrac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. (Por ejemplo, las bolas están equidistantes si se lanzan a los contenedores $3, 17,$ y $10.$ ) ¿Cuánto vale $p+q$ ?

Three balls are randomly and independently tossed into bins numbered with the positive integers so that for each ball, the probability that it is tossed into bin $i$ is $2^{-i}$ for $i=1,2,3,\ldots.$ More than one ball is allowed in each bin. The probability that the balls end up evenly spaced in distinct bins is $\dfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. (For example, the balls are evenly spaced if they are tossed into bins $3, 17,$ and $10.$ ) What is $p+q?$

$55$

$56$

$57$

$58$

$59$

Solución:

Los contenedores distintos y equidistantes forman una progresión aritmética $n,n+d,n+2d$ con $n,d\ge 1.$ Los tres números suman $3(n+d),$ así que una asignación fija de bolas a estos contenedores tiene probabilidad $2^{-3(n+d)}.$

Las tres bolas pueden ordenarse de $3!=6$ maneras, así que la probabilidad total es $6\sum_{n\ge 1}\sum_{d\ge 1}2^{-3(n+d)}$ $=6\left(\sum_{n\ge 1}\tfrac{1}{8^n}\right)^2$ $=6\cdot\tfrac17\cdot\tfrac17=\tfrac{6}{49}.$

Como $\gcd(6,49)=1,$ obtenemos $p+q=6+49=55.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Evenly spaced distinct bins form an arithmetic progression $n,n+d,n+2d$ with $n,d\ge 1.$ The three labels sum to $3(n+d),$ so a fixed assignment of balls to these bins has probability $2^{-3(n+d)}.$

The three balls can be ordered in $3!=6$ ways, so the total probability is $6\sum_{n\ge 1}\sum_{d\ge 1}2^{-3(n+d)}$ $=6\left(\sum_{n\ge 1}\tfrac{1}{8^n}\right)^2$ $=6\cdot\tfrac17\cdot\tfrac17=\tfrac{6}{49}.$

Since $\gcd(6,49)=1,$ we get $p+q=6+49=55.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Spring Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años