Question

¿Cuál es el volumen de la región del espacio tridimensional definida por las desigualdades $|x|+|y|+|z|\le1$ y $|x|+|y|+|z-1|\le1$ ?

What is the volume of the region in three-dimensional space defined by the inequalities $|x|+|y|+|z|\le1$ and $|x|+|y|+|z-1|\le1?$

$\dfrac16$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$1$

Solución:

La región $|x|+|y|+|z|\le1$ es un octaedro regular con vértices en $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1),$ cuyo volumen es $2\cdot\tfrac13\cdot(\sqrt2)^2\cdot1=\tfrac43.$ La segunda región es el mismo octaedro desplazado hacia arriba en $1.$ Su intersección está limitada por otro octaedro regular con diagonales de longitud $1,$ la mitad de las dimensiones lineales del primero, así que su volumen es $\left(\tfrac12\right)^3\cdot\tfrac43=\tfrac16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The region $|x|+|y|+|z|\le1$ is a regular octahedron with vertices at $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1),$ whose volume is $2\cdot\tfrac13\cdot(\sqrt2)^2\cdot1=\tfrac43.$ The second region is the same octahedron shifted up by $1.$ Their intersection is bounded by another regular octahedron with diagonals of length $1,$ half the linear dimensions of the first, so its volume is $\left(\tfrac12\right)^3\cdot\tfrac43=\tfrac16.$

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años