Question

Sea $S$ un cuadrado de lado $1.$ Se eligen dos puntos de forma independiente y al azar sobre los lados de $S.$ La probabilidad de que la distancia en línea recta entre los puntos sea al menos $\dfrac12$ es $\dfrac{a - b\pi}{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos y $\gcd(a, b, c) = 1.$ ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

Let $S$ be a square of side length $1.$ Two points are chosen independently at random on the sides of $S.$ The probability that the straight-line distance between the points is at least $\dfrac12$ is $\dfrac{a - b\pi}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $\gcd(a, b, c) = 1.$ What is $a + b + c?$

$59$

$60$

$61$

$62$

$63$

Solución:

El segundo punto está en el mismo lado que el primero con probabilidad $\dfrac14,$ en el lado opuesto con probabilidad $\dfrac14,$ y en un lado adyacente con probabilidad $\dfrac12.$

Lados opuestos: la distancia siempre es al menos $1 \ge \dfrac12$ , probabilidad $1.$

Mismo lado: para los puntos $(a, 0)$ y $(b, 0),$ la condición $|a - b| \ge \dfrac12$ tiene probabilidad $\dfrac14.$

Lados adyacentes: para los puntos $(a, 0)$ y $(0, b),$ la condición $\sqrt{a^2 + b^2} \ge \dfrac12$ es la región fuera de un cuarto de círculo de radio $\dfrac12,$ con probabilidad $1 - \dfrac14\pi\left(\dfrac12\right)^2 = 1 - \dfrac{\pi}{16}.$

La probabilidad total es $\begin{aligned} &\dfrac14\cdot 1 + \dfrac14\cdot\dfrac14 \\ &\quad {}+ \dfrac12\left(1 - \dfrac{\pi}{16}\right) \\ &\quad = \dfrac{26 - \pi}{32}. \end{aligned}$ Así $a + b + c = 26 + 1 + 32 = 59.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The second point is on the same side as the first with probability $\dfrac14,$ on the opposite side with probability $\dfrac14,$ and on an adjacent side with probability $\dfrac12.$

Opposite sides: the distance is at least $1 \ge \dfrac12$ always, probability $1.$

Same side: for points $(a, 0)$ and $(b, 0),$ the condition $|a - b| \ge \dfrac12$ has probability $\dfrac14.$

Adjacent sides: for points $(a, 0)$ and $(0, b),$ the condition $\sqrt{a^2 + b^2} \ge \dfrac12$ is the region outside a quarter-circle of radius $\dfrac12,$ with probability $1 - \dfrac14\pi\left(\dfrac12\right)^2 = 1 - \dfrac{\pi}{16}.$

The total probability is $\begin{aligned} &\dfrac14\cdot 1 + \dfrac14\cdot\dfrac14 \\ &\quad {}+ \dfrac12\left(1 - \dfrac{\pi}{16}\right) \\ &\quad = \dfrac{26 - \pi}{32}. \end{aligned}$ Thus $a + b + c = 26 + 1 + 32 = 59.$

Thus, the correct answer is A.

2015 AMC 12A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años