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2024 AMC 12A Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2024 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

Halla el valor de la siguiente expresión: tan⁡2π16⋅tan⁡23π16+tan⁡2π16⋅tan⁡25π16+tan⁡23π16⋅tan⁡27π16+tan⁡25π16⋅tan⁡27π16? \begin{aligned} &\tan^2\frac{\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{3\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{5\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{3\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{7\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{5\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{7\pi}{16}? \end{aligned}
What is the value of tan⁡2π16⋅tan⁡23π16+tan⁡2π16⋅tan⁡25π16+tan⁡23π16⋅tan⁡27π16+tan⁡25π16⋅tan⁡27π16? \begin{aligned} &\tan^2\frac{\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{3\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{5\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{3\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{7\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{5\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{7\pi}{16}? \end{aligned}
2828
6868
7070
7272
8484
Respuesta: B
Conceptos:identidad trigonométricafactorización
Nivel de dificultad: 2370
Pista pequeña:
Sean a,b,c,d=tan⁡2π16,a,b,c,d=\tan^2\frac{\pi}{16}, tan⁡23π16,\tan^2\frac{3\pi}{16}, tan⁡25π16,\tan^2\frac{5\pi}{16}, tan⁡27π16;\tan^2\frac{7\pi}{16}; la suma se factoriza como (a+d)(b+c)(a+d)(b+c)
Let a,b,c,d=tan⁡2π16,a,b,c,d=\tan^2\frac{\pi}{16}, tan⁡23π16,\tan^2\frac{3\pi}{16}, tan⁡25π16,\tan^2\frac{5\pi}{16}, tan⁡27π16;\tan^2\frac{7\pi}{16}; the sum factors as (a+d)(b+c)(a+d)(b+c)
Pista grande:
tan⁡7π16=cot⁡π16,\tan\frac{7\pi}{16}=\cot\frac{\pi}{16}, y tan⁡2x+cot⁡2x=4sin⁡22x−2\tan^2x+\cot^2x=\dfrac{4}{\sin^2 2x}-2
tan⁡7π16=cot⁡π16,\tan\frac{7\pi}{16}=\cot\frac{\pi}{16}, and tan⁡2x+cot⁡2x=4sin⁡22x−2\tan^2x+\cot^2x=\dfrac{4}{\sin^2 2x}-2
Solución:
Con a=tan⁡2π16, a=\tan^2\tfrac{\pi}{16},\ b=tan⁡23π16, b=\tan^2\tfrac{3\pi}{16},\ c=tan⁡25π16, c=\tan^2\tfrac{5\pi}{16},\ d=tan⁡27π16,d=\tan^2\tfrac{7\pi}{16}, la expresión es ab+ac+bd+cdab+ac+bd+cd =(a+d)(b+c).=(a+d)(b+c).
Como 7π16=π2−π16,\tfrac{7\pi}{16}=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{16}, tenemos d=cot⁡2π16,d=\cot^2\tfrac{\pi}{16}, así que a+d=tan⁡2π16+cot⁡2π16a+d=\tan^2\tfrac{\pi}{16}+\cot^2\tfrac{\pi}{16} =4sin⁡2(π8)−2=\tfrac{4}{\sin^2(\frac{\pi}{8})}-2 =14+82.=14+8\sqrt2. De igual modo b+c=4sin⁡2(3π8)−2b+c=\tfrac{4}{\sin^2(\frac{3\pi}{8})}-2 =14−82.=14-8\sqrt2. Su producto es 142−(82)2=196−128=68.14^2-(8\sqrt2)^2=196-128=68.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
With a=tan⁡2π16, a=\tan^2\tfrac{\pi}{16},\ b=tan⁡23π16, b=\tan^2\tfrac{3\pi}{16},\ c=tan⁡25π16, c=\tan^2\tfrac{5\pi}{16},\ d=tan⁡27π16,d=\tan^2\tfrac{7\pi}{16}, the expression is ab+ac+bd+cdab+ac+bd+cd =(a+d)(b+c).=(a+d)(b+c).
Since 7π16=π2−π16,\tfrac{7\pi}{16}=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{16}, we have d=cot⁡2π16,d=\cot^2\tfrac{\pi}{16}, so a+d=tan⁡2π16+cot⁡2π16a+d=\tan^2\tfrac{\pi}{16}+\cot^2\tfrac{\pi}{16} =4sin⁡2(π8)−2=\tfrac{4}{\sin^2(\frac{\pi}{8})}-2 =14+82.=14+8\sqrt2. Likewise b+c=4sin⁡2(3π8)−2b+c=\tfrac{4}{\sin^2(\frac{3\pi}{8})}-2 =14−82.=14-8\sqrt2. Their product is 142−(82)2=196−128=68.14^2-(8\sqrt2)^2=196-128=68.
Thus, the correct answer is B.
Problema 22#22
Examen completo
Problema 24#24

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