Question

La figura de abajo muestra una cuadrícula de puntos de $8$ celdas de ancho y $3$ celdas de alto formada por cuadrados de $1''\times1''$ . Carl coloca palillos de $1$ pulgada a lo largo de algunos de los lados de los cuadrados para crear un lazo cerrado que no se cruza a sí mismo. Los números en las celdas indican cuántos lados de ese cuadrado deben quedar cubiertos por palillos, y se permite cualquier cantidad de palillos donde no hay número escrito. ¿De cuántas maneras puede Carl colocar los palillos?

A dotted grid 8 cells wide and 3 cells tall, with a 1 written in each cell of the middle row.

The figure below shows a dotted grid $8$ cells wide and $3$ cells tall consisting of $1''\times1''$ squares. Carl places $1$ -inch toothpicks along some of the sides of the squares to create a closed loop that does not intersect itself. The numbers in the cells indicate the number of sides of that square that are to be covered by toothpicks, and any number of toothpicks are allowed if no number is written. In how many ways can Carl place the toothpicks?

A dotted grid 8 cells wide and 3 cells tall, with a 1 written in each cell of the middle row.

$130$

$144$

$146$

$162$

$196$

Solución:

Los palillos forman una sola curva cerrada simple. La condición obliga a que cada una de las ocho celdas de la fila central tenga exactamente uno de sus cuatro lados usado, lo que limita severamente cómo el lazo atraviesa la cuadrícula: para cada celda central el lazo debe aportar una arista (un lado superior, inferior, izquierdo o derecho), y las elecciones consecutivas deben unirse en una única curva cerrada que no se autointerseca.

Trabajando de izquierda a derecha y siguiendo cómo las porciones superior e inferior del lazo entran y salen de cada columna (equivalentemente, un conteo por matriz de transferencia o por casos sobre las $8$ columnas) se enumeran todos los lazos admisibles. Al llevar a cabo este análisis por casos se obtienen $146$ configuraciones válidas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The toothpicks form a single simple closed curve. The constraint forces each of the eight middle-row cells to have exactly one of its four sides used, which severely limits how the loop threads through the grid: for each middle cell the loop must contribute one edge (a top, bottom, left, or right side), and consecutive choices must join up into one non-self-intersecting closed curve.

Working left to right and tracking how the loop's upper and lower portions enter and leave each column (equivalently, a transfer-matrix/casework count over the $8$ columns) enumerates all admissible loops. Carrying out this casework gives $146$ valid configurations.

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años