Question

La figura de abajo muestra una cuadrícula de puntos de $8$ celdas de ancho y $3$ celdas de alto formada por cuadrados de $1''\times1''$ . Carl coloca palillos de $1$ pulgada a lo largo de algunos de los lados de los cuadrados para crear un lazo cerrado que no se cruza a sí mismo. Los números en las celdas indican cuántos lados de ese cuadrado deben quedar cubiertos por palillos, y se permite cualquier cantidad de palillos donde no hay número escrito. ¿De cuántas maneras puede Carl colocar los palillos?

A dotted grid 8 cells wide and 3 cells tall, with a 1 written in each cell of the middle row.

The figure below shows a dotted grid $8$ cells wide and $3$ cells tall consisting of $1''\times1''$ squares. Carl places $1$ -inch toothpicks along some of the sides of the squares to create a closed loop that does not intersect itself. The numbers in the cells indicate the number of sides of that square that are to be covered by toothpicks, and any number of toothpicks are allowed if no number is written. In how many ways can Carl place the toothpicks?

A dotted grid 8 cells wide and 3 cells tall, with a 1 written in each cell of the middle row.

$130$

$144$

$146$

$162$

$196$

Respuesta: C

Conceptos:teoría de grafos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2370

Pista pequeña:

Cada celda de la fila central debe tocar exactamente un palillo; una vez fijadas las dos columnas donde el lazo da la vuelta, el palillo de cada celda interior está independientemente arriba o abajo de ella

Each middle-row cell must touch exactly one toothpick; after the two turnaround columns are fixed, each interior cell’s toothpick is independently above or below it

Pista grande:

Un lazo que cruza la franja central usa las $8$ columnas, las primeras $7,$ las últimas $7,$ o las $6$ centrales; sus columnas interiores se curvan independientemente hacia arriba o hacia abajo

A loop crossing the middle uses all $8,$ the first $7,$ the last $7,$ or the middle $6$ columns; its interior columns independently bend above or below

Solución:

Cada celda de la fila central debe tocar exactamente un palillo. Consideremos primero los lazos que pasan de un lado de la franja central al otro. El lazo puede abarcar las $8$ columnas, las primeras $7,$ las últimas $7,$ o las $6$ centrales; un tramo menor dejaría sin tocar una celda central exterior.

Una vez fijados los dos extremos, cada celda central interior elige independientemente si su único palillo está en el lado superior o inferior, y el resto del lazo sin autointersecciones queda forzado. Los cuatro casos aportan, por tanto, $2^6,2^5,2^5,$ y $2^4$ lazos. También hay exactamente dos lazos que no cruzan la franja central: el rectángulo horizontal que corre enteramente por arriba o enteramente por abajo. Así, el total es $2^6+2^5+2^5+2^4+2$ $=64+32+32+16+2$ $=146.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each middle-row cell must touch exactly one toothpick. First consider loops that pass from one side of the middle strip to the other. The loop can span all $8$ columns, the first $7,$ the last $7,$ or the middle $6;$ a narrower span would leave an outer middle cell untouched.

Once the two ends are fixed, each interior middle cell independently has its one toothpick on its top or bottom side, and the rest of the non-self-intersecting loop is forced. The four cases therefore contribute $2^6,2^5,2^5,$ and $2^4$ loops. There are also exactly two loops that do not cross the middle strip: the horizontal rectangle running entirely along the top or entirely along the bottom. Hence the total is $2^6+2^5+2^5+2^4+2$ $=64+32+32+16+2$ $=146.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12A Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años