Question

El paralelogramo $ABCD$ tiene área $1{,}000{,}000.$ El vértice $A$ está en $(0, 0)$ y todos los demás vértices están en el primer cuadrante. Los vértices $B$ y $D$ son puntos de red sobre las rectas $y = x$ y $y = kx$ para algún entero $k \gt 1,$ respectivamente. ¿Cuántos paralelogramos de este tipo hay?

Parallelogram $ABCD$ has area $1{,}000{,}000.$ Vertex $A$ is at $(0, 0)$ and all other vertices are in the first quadrant. Vertices $B$ and $D$ are lattice points on the lines $y = x$ and $y = kx$ for some integer $k \gt 1,$ respectively. How many such parallelograms are there?

$49$

$720$

$784$

$2009$

$2048$

Respuesta: C

Conceptos:punto reticular estrellas y barras factorización en primos

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Con $B = (b, b)$ y $D = (d, kd),$ el área del paralelogramo es $(k - 1)bd$ .

With $B = (b, b)$ and $D = (d, kd),$ the area of the parallelogram is $(k - 1)bd$

Pista grande:

Necesitas $(k - 1)bd = 10^6 = 2^6 \cdot 5^6$ ; cuenta las factorizaciones ordenadas en tres enteros positivos.

You need $(k - 1)bd = 10^6 = 2^6 \cdot 5^6$ ; count ordered factorizations into three positive integers

Solución:

Sea $B = (b, b)$ y $D = (d, kd)$ con $b, d, k$ enteros positivos y $k \gt 1.$ El área es $(k - 1)bd = 1{,}000{,}000 = 2^6 \cdot 5^6.$

Cada paralelogramo corresponde a una terna ordenada $(k - 1, b, d)$ de enteros positivos con producto $2^6 \cdot 5^6.$ Los seis $2$ se reparten entre los tres factores de $\binom{6 + 2}{2} = 28$ maneras, y del mismo modo los seis $5$ de $28$ maneras, lo que da $28^2 = 784.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $B = (b, b)$ and $D = (d, kd)$ with $b, d, k$ positive integers and $k \gt 1.$ The area is $(k - 1)bd = 1{,}000{,}000 = 2^6 \cdot 5^6.$

Each parallelogram corresponds to an ordered triple $(k - 1, b, d)$ of positive integers with product $2^6 \cdot 5^6.$ The six $2$ ’s distribute among the three factors in $\binom{6 + 2}{2} = 28$ ways, and likewise the six $5$ ’s in $28$ ways, giving $28^2 = 784.$

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 12B Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años