Question

Supón que $a$ , $b$ y $c$ son enteros positivos con $a + b + c = 2006$ , y $a!\,b!\,c! = m \cdot 10^n$ , donde $m$ y $n$ son enteros y $m$ no es divisible entre $10$ . ¿Cuál es el menor valor posible de $n$ ?

Suppose $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers with $a + b + c = 2006,$ and $a!\,b!\,c! = m \cdot 10^n,$ where $m$ and $n$ are integers and $m$ is not divisible by $10.$ What is the smallest possible value of $n?$

$489$

$492$

$495$

$498$

$501$

Solución:

Los factores de $2$ son más abundantes que los factores de $5$ , así que $n$ es igual al número de factores de $5$ en $a!\,b!\,c!$ , es decir, $n = \sum_{k \ge 1}\left(\left\lfloor \tfrac{a}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{b}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{c}{5^k}\right\rfloor\right).$

Para cada $k$ , $\lfloor a/5^k \rfloor + \lfloor b/5^k \rfloor$ $+ \lfloor c/5^k \rfloor$ $\ge \lfloor 2006/5^k \rfloor - 2$ . Sumando sobre $k = 1, 2, 3, 4$ (ya que $2006 \lt 5^5$ ) se obtiene $\begin{aligned} &n \ge (401 + 80 + 16 + 3) \\ &\quad {}- 4 \cdot 2 = 492. \end{aligned}$

La igualdad es alcanzable, por ejemplo con $a = b = 624$ y $c = 758$ . Así que el mínimo es $492$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since factors of $2$ are more plentiful than factors of $5,$ $n$ equals the number of factors of $5$ in $a!\,b!\,c!,$ namely $n = \sum_{k \ge 1}\left(\left\lfloor \tfrac{a}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{b}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{c}{5^k}\right\rfloor\right).$

For each $k,$ $\lfloor a/5^k \rfloor + \lfloor b/5^k \rfloor$ $+ \lfloor c/5^k \rfloor$ $\ge \lfloor 2006/5^k \rfloor - 2.$ Summing over $k = 1, 2, 3, 4$ (as $2006 \lt 5^5$ ) gives $\begin{aligned} &n \ge (401 + 80 + 16 + 3) \\ &\quad {}- 4 \cdot 2 = 492. \end{aligned}$

Equality is attainable, for example with $a = b = 624$ and $c = 758.$ So the minimum is $492.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años