Question

Planos distintos $p_1,$ $p_2,$ $\ldots,$ $p_k$ cortan el interior de un cubo $Q.$ Sea $S$ la unión de las caras de $Q$ y sea $P = \bigcup_{j=1}^{k} p_j.$ La intersección de $P$ y $S$ consiste en la unión de todos los segmentos que unen los puntos medios de cada par de aristas que pertenecen a una misma cara de $Q.$ ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible de $k$ ?

Distinct planes $p_1,$ $p_2,$ $\ldots,$ $p_k$ intersect the interior of a cube $Q.$ Let $S$ be the union of the faces of $Q$ and let $P = \bigcup_{j=1}^{k} p_j.$ The intersection of $P$ and $S$ consists of the union of all segments joining the midpoints of every pair of edges belonging to the same face of $Q.$ What is the difference between the maximum and the minimum possible values of $k?$

$8$

$12$

$20$

$23$

$24$

Solución:

En cada cara, los segmentos requeridos unen puntos medios de aristas. Un plano que corta el cubo se encuentra con las caras en una de cuatro formas simétricas: un cuadrado que pasa por los puntos medios ( $3$ planos de este tipo), un rectángulo por cada arista ( $12$ planos), un triángulo por cada vértice ( $8$ planos), o un hexágono regular por cada par de vértices opuestos ( $4$ planos).

Usarlos todos da el máximo $k = 3 + 12 + 8 + 4 = 27.$

La figura completa consiste en $24$ segmentos cortos y $12$ segmentos largos. Los $4$ planos hexagonales juntos contienen los $24$ segmentos cortos, y los $3$ planos cuadrados contienen los $12$ segmentos largos, así que el mínimo es $k = 4 + 3 = 7.$

La diferencia es $27 - 7 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

On every face, the required segments join midpoints of edges. A plane cutting the cube meets the faces in one of four symmetric shapes: a square through midpoints ( $3$ such planes), a rectangle per edge ( $12$ planes), a triangle per vertex ( $8$ planes), or a regular hexagon per pair of opposite vertices ( $4$ planes).

Using all of them gives the maximum $k = 3 + 12 + 8 + 4 = 27.$

The full figure consists of $24$ short segments and $12$ long segments. The $4$ hexagon planes together contain all $24$ short segments, and the $3$ square planes contain all $12$ long segments, so the minimum is $k = 4 + 3 = 7.$

The difference is $27 - 7 = 20.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años