Question

Planos distintos $p_1,$ $p_2,$ $\ldots,$ $p_k$ cortan el interior de un cubo $Q.$ Sea $S$ la unión de las caras de $Q$ y sea $P = \bigcup_{j=1}^{k} p_j.$ La intersección de $P$ y $S$ consiste en la unión de todos los segmentos que unen los puntos medios de cada par de aristas que pertenecen a una misma cara de $Q.$ ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible de $k$ ?

Distinct planes $p_1,$ $p_2,$ $\ldots,$ $p_k$ intersect the interior of a cube $Q.$ Let $S$ be the union of the faces of $Q$ and let $P = \bigcup_{j=1}^{k} p_j.$ The intersection of $P$ and $S$ consists of the union of all segments joining the midpoints of every pair of edges belonging to the same face of $Q.$ What is the difference between the maximum and the minimum possible values of $k?$

$8$

$12$

$20$

$23$

$24$

Respuesta: C

Conceptos:geometría del cubo Geometría 3D análisis por casos

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

En cada cara los segmentos dibujados unen puntos medios de aristas; clasifica la sección de un plano como cuadrado, rectángulo, triángulo o hexágono

On each face the drawn segments join midpoints of edges; classify a plane’s cross-section as a square, rectangle, triangle, or hexagon

Pista grande:

Para el máximo, cuenta todos los planos de cada tipo; para el mínimo, cubre los $24$ segmentos cortos y $12$ segmentos largos con la menor cantidad de planos posible

For the maximum, count all planes of each type; for the minimum, cover all $24$ short and $12$ long segments with as few planes as possible

Solución:

En cada cara, los segmentos requeridos unen puntos medios de aristas. Un plano que corta el cubo se encuentra con las caras en una de cuatro formas simétricas: un cuadrado por puntos medios ( $3$ planos), un rectángulo por arista ( $12$ planos), un triángulo por vértice ( $8$ planos), o un hexágono regular por par de vértices opuestos ( $4$ planos).

Usarlos todos da el máximo $k = 3 + 12 + 8 + 4 = 27.$

La figura completa consta de $24$ segmentos cortos y $12$ largos. Un plano cuadrado contiene $(0,4),$ uno rectangular $(2,2),$ uno triangular $(3,0),$ y uno hexagonal $(6,0)$ segmentos cortos y largos, respectivamente. Demos peso $1$ a cada segmento corto y peso $\frac{3}{2}$ a cada largo. Cada plano cubre entonces peso a lo sumo $6,$ mientras que los segmentos requeridos tienen peso total $24+(\frac{3}{2})12=42.$ Así, se necesitan al menos $7$ planos. Los $4$ planos hexagonales cubren los $24$ segmentos cortos y los $3$ planos cuadrados cubren los $12$ largos, por lo que $k=7$ es alcanzable.

La diferencia es $27 - 7 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

On every face, the required segments join midpoints of edges. A plane cutting the cube meets the faces in one of four symmetric shapes: a square through midpoints ( $3$ such planes), a rectangle per edge ( $12$ planes), a triangle per vertex ( $8$ planes), or a regular hexagon per pair of opposite vertices ( $4$ planes).

Using all of them gives the maximum $k = 3 + 12 + 8 + 4 = 27.$

The full figure consists of $24$ short segments and $12$ long segments. A square plane contains $(0,4),$ a rectangle $(2,2),$ a triangle $(3,0),$ and a hexagon $(6,0)$ short and long segments, respectively. Give each short segment weight $1$ and each long segment weight $\frac{3}{2}.$ Every plane then covers weight at most $6,$ whereas the required segments have total weight $24+(\frac{3}{2})12=42.$ Thus at least $7$ planes are needed. The $4$ hexagon planes cover all $24$ short segments, and the $3$ square planes cover all $12$ long segments, so $k=7$ is attainable.

The difference is $27 - 7 = 20.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12A Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años