Question

Sea $T_1$ un triángulo con lados $2011, 2012,$ y $2013.$ Para $n\ge1,$ si $T_n=\triangle ABC$ y $D,$ $E,$ y $F$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ con los lados $AB,$ $BC,$ y $AC,$ respectivamente, entonces $T_{n+1}$ es un triángulo con lados $AD,$ $BE,$ y $CF,$ si existe. ¿Cuál es el perímetro del último triángulo de la sucesión $(T_n)$ ?

Let $T_1$ be a triangle with sides $2011, 2012,$ and $2013.$ For $n\ge1,$ if $T_n=\triangle ABC$ and $D,$ $E,$ and $F$ are the points of tangency of the incircle of $\triangle ABC$ to the sides $AB,$ $BC,$ and $AC,$ respectively, then $T_{n+1}$ is a triangle with side lengths $AD,$ $BE,$ and $CF,$ if it exists. What is the perimeter of the last triangle in the sequence $(T_n)?$

$\dfrac{1509}{8}$

$\dfrac{1509}{32}$

$\dfrac{1509}{64}$

$\dfrac{1509}{128}$

$\dfrac{1509}{256}$

Solución:

Para un triángulo con lados $a,b,c,$ las longitudes de las tangentes son $AD=\tfrac12(b+c-a),$ $BE=\tfrac12(a+c-b),$ y $CF=\tfrac12(a+b-c).$ Si $T_n$ tiene lados $(y-1,y,y+1),$ entonces $T_{n+1}$ tiene lados $\left(\tfrac{y}{2}-1,\tfrac{y}{2},\tfrac{y}{2}+1\right).$

Partiendo de $T_1$ con lado central $2012,$ el lado central se reduce a la mitad en cada paso y el perímetro de $T_{n+1}$ es $\tfrac12$ del perímetro de $T_n.$ Un triángulo de esta forma existe solo mientras su lado central supere $2.$

El lado central de $T_n$ es $\dfrac{2012}{2^{n-1}}.$ Este cae por primera vez a $2$ o menos en $n=11,$ así que el último triángulo válido es $T_{10},$ cuyo lado central es $\dfrac{2012}{2^9}$ y cuyo perímetro es $3\cdot\dfrac{2012}{2^9}=\dfrac{6036}{512}=\dfrac{1509}{128}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For a triangle with sides $a,b,c,$ the tangent lengths are $AD=\tfrac12(b+c-a),$ $BE=\tfrac12(a+c-b),$ and $CF=\tfrac12(a+b-c).$ If $T_n$ has sides $(y-1,y,y+1),$ then $T_{n+1}$ has sides $\left(\tfrac{y}{2}-1,\tfrac{y}{2},\tfrac{y}{2}+1\right).$

Starting from $T_1$ with middle side $2012,$ the middle side halves each step and the perimeter of $T_{n+1}$ is $\tfrac12$ the perimeter of $T_n.$ A triangle of this form exists only while its middle side exceeds $2.$

The middle side of $T_n$ is $\dfrac{2012}{2^{n-1}}.$ This first drops to $2$ or below at $n=11,$ so the last valid triangle is $T_{10},$ whose middle side is $\dfrac{2012}{2^9}$ and whose perimeter is $3\cdot\dfrac{2012}{2^9}=\dfrac{6036}{512}=\dfrac{1509}{128}.$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años