Question

Se disponen veinte bloques cúbicos como se muestra. Primero se colocan $10$ en un patrón triangular; luego una capa de $6,$ también en patrón triangular, se centra sobre los $10;$ después una capa de $3,$ dispuestos en patrón triangular, se centra sobre los $6;$ finalmente, se centra un bloque sobre la tercera capa. Los bloques de la capa inferior se numeran del $1$ al $10$ en algún orden. A cada bloque de las capas $2,$ $3$ y $4$ se le asigna la suma de los números de los tres bloques sobre los que descansa. Halla el menor número posible que podría asignarse al bloque superior.

Twenty cubical blocks are arranged as shown. First, $10$ are arranged in a triangular pattern; then a layer of $6,$ arranged in a triangular pattern, is centered on the $10;$ then a layer of $3,$ arranged in a triangular pattern, is centered on the $6;$ and finally one block is centered on top of the third layer. The blocks in the bottom layer are numbered $1$ through $10$ in some order. Each block in layers $2,$ $3$ and $4$ is assigned the number which is the sum of the numbers assigned to the three blocks on which it rests. Find the smallest possible number which could be assigned to the top block.

$55$

$83$

$114$

$137$

$144$

Respuesta: C

Conceptos:weighted sum rearrangement principle triangular stack

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Determina cuántas veces contribuye cada bloque inferior al número de arriba

Determine how many times each bottom block contributes to the top

Pista grande:

El centro, las seis posiciones del borde y las tres esquinas tienen coeficientes $6,$ $3,$ y $1$

The center, six edge positions, and three corner positions have coefficients $6,$ $3,$ and $1$

Solución:

Al desarrollar las sumas capa por capa, el valor superior es $6c+3(e_1+e_2+e_3$ ${}+e_4+e_5+e_6)$ ${}+(v_1+v_2+v_3),$ donde $c$ es el bloque central de la capa inferior, los $e_i$ son los seis bloques del borde que no están en las esquinas y los $v_i$ son los tres bloques de las esquinas. Para minimizar esta suma ponderada, asigna $1$ a la posición de coeficiente $6,$ los números $2,$ $\ldots,$ $7$ a las posiciones de coeficiente $3,$ y $8,$ $9,$ $10$ a las posiciones de coeficiente $1.$ El mínimo es $6+3(2+3+4$ ${}+5+6+7)$ ${}+(8+9+10)=114.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Expanding the sums layer by layer, the top value is $6c+3(e_1+e_2+e_3$ ${}+e_4+e_5+e_6)$ ${}+(v_1+v_2+v_3),$ where $c$ is the center bottom block, the $e_i$ are the six non-corner boundary blocks, and the $v_i$ are the three corner blocks. To minimize this weighted sum, assign $1$ to the coefficient- $6$ position, $2,$ $\ldots,$ $7$ to the coefficient- $3$ positions, and $8,$ $9,$ $10$ to the coefficient- $1$ positions. The minimum is $6+3(2+3+4$ ${}+5+6+7)$ ${}+(8+9+10)=114.$ Thus the correct answer is C.

1993 AMC 12 Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años