Question

Una pelota flotaba en un lago cuando este se congeló. La pelota se retiró sin romper el hielo, dejando un agujero de $24$ cm de ancho en la superficie y $8$ cm de profundidad. ¿Cuál era el radio de la pelota, en centímetros?

A ball was floating in a lake when the lake froze. The ball was removed (without breaking the ice), leaving a hole $24$ cm across at the top and $8$ cm deep. What was the radius of the ball (in centimeters)?

$8$

$12$

$13$

$8\sqrt3$

$6\sqrt6$

Respuesta: C

Conceptos:sphere cross-section triángulo rectángulo chord geometry

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Toma una sección transversal vertical que pase por el centro del agujero circular

Take a vertical cross-section through the center of the circular hole

Pista grande:

La semichorda mide $12,$ mientras que la distancia del centro al plano del hielo es $r-8$

The half-chord is $12,$ while the center-to-ice distance is $r-8$

Solución:

En una sección transversal vertical, la mitad del agujero de $24$ cm es un segmento de cuerda de longitud $12.$ Si el radio de la esfera es $r,$ la distancia desde su centro hasta el plano del hielo es $r-8.$ El triángulo rectángulo resultante da $(r-8)^2+12^2=r^2.$ Al resolver, se obtiene $16r=208,$ así que $r=13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In a vertical cross-section, half the $24$ -cm hole is a chord segment of length $12.$ If the sphere radius is $r,$ the distance from its center to the ice plane is $r-8.$ The resulting right triangle gives $(r-8)^2+12^2=r^2.$ Solving yields $16r=208,$ so $r=13.$

Thus the correct answer is C.

1987 AMC 12 Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años