Question

Si $a_2\ne0$ y $r,$ $s$ son las raíces de $a_0+a_1x+a_2x^2=0,$ entonces la igualdad

$\begin{aligned} a_0+a_1x+a_2x^2 &=a_0\left(1-\frac xr\right)\\ &\quad\cdot\left(1-\frac xs\right) \end{aligned}$

se cumple:

If $a_2\ne0$ and $r,$ $s$ are the roots of $a_0+a_1x+a_2x^2=0,$ then the equality

$\begin{aligned} a_0+a_1x+a_2x^2 &=a_0\left(1-\frac xr\right)\\ &\quad\cdot\left(1-\frac xs\right) \end{aligned}$

holds:

para todos los valores de $x,$ si $a_0\ne0$

for all values of $x,$ $a_0\ne0$

para todos los valores de $x$

for all values of $x$

solo cuando $x=0$

only when $x=0$

solo cuando $x=r$ o $x=s$

only when $x=r$ or $x=s$

solo cuando $x=r$ o $x=s,$ si $a_0\ne0$

only when $x=r$ or $x=s,$ $a_0\ne0$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta factorización

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

El lado derecho requiere que ambas raíces sean distintas de cero

The right side requires both roots to be nonzero

Pista grande:

Usa $rs=\frac{a_0}{a_2}$ para comparar los coeficientes principales

Use $rs=\frac{a_0}{a_2}$ to compare the leading coefficients

Solución:

Si $a_0\ne0,$ entonces $rs=\frac{a_0}{a_2}\ne0$ y $\begin{gathered} a_0\left(1-\frac xr\right) \left(1-\frac xs\right)\\ =\frac{a_0}{rs}(x-r)(x-s)\\ =a_2(x-r)(x-s), \end{gathered}$ que es el polinomio original para todo $x.$ Si $a_0=0,$ al menos un denominador del lado derecho es cero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If $a_0\ne0,$ then $rs=\frac{a_0}{a_2}\ne0$ and $\begin{gathered} a_0\left(1-\frac xr\right) \left(1-\frac xs\right)\\ =\frac{a_0}{rs}(x-r)(x-s)\\ =a_2(x-r)(x-s), \end{gathered}$ which is the original polynomial for every $x.$ If $a_0=0,$ at least one denominator on the right is zero.

Therefore, the correct answer is A.

1965 AMC 12 Problema 22

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años