Question

¿Para cuántos enteros $x$ un triángulo con lados de longitudes $10,$ $24$ y $x$ tiene todos sus ángulos agudos?

For how many integers $x$ does a triangle with side lengths $10,$ $24,$ and $x$ have all its angles acute?

$4$

$5$

$6$

$7$

más de $7$

more than $7$

Respuesta: A

Conceptos:acute triangles Pythagorean inequalities integer counting

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Aplica la desigualdad pitagórica estricta al lado mayor en cada orden posible

Apply the strict Pythagorean inequality to the largest side in each possible ordering

Pista grande:

El ángulo opuesto a $24$ y el ángulo opuesto a $x$ dan las cotas restrictivas

The angle opposite $24$ and the angle opposite $x$ give the restrictive bounds

Solución:

Para que el triángulo sea acutángulo, se requiere $x^2<10^2+24^2=676$ y $24^2<10^2+x^2,$ de modo que $x<26$ y $x^2>476.$ Para $x$ entero, esto da $22\le x\le25.$ Los cuatro valores también satisfacen la desigualdad triangular, por lo que hay $4$ valores.

Por tanto, la respuesta correcta es A.

Acuteness requires $x^2<10^2+24^2=676$ and $24^2<10^2+x^2,$ so $x<26$ and $x^2>476.$ For integer $x,$ this gives $22\le x\le25.$ All four values also satisfy the triangle inequality, so there are $4$ values.

Thus the correct answer is A.

1988 AMC 12 Problema 22

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años