Question

Sea $R$ una región cuadrada y $n \ge 4$ un entero. Un punto $X$ en el interior de $R$ se llama $n$ -radial particional si hay $n$ rayos que emanan de $X$ y dividen $R$ en $n$ triángulos de igual área. ¿Cuántos puntos son $100$ -radiales particionales pero no $60$ -radiales particionales?

Let $R$ be a square region and $n \ge 4$ an integer. A point $X$ in the interior of $R$ is called $n$ -ray partitional if there are $n$ rays emanating from $X$ that divide $R$ into $n$ triangles of equal area. How many points are $100$ -ray partitional but not $60$ -ray partitional?

$1500$

$1560$

$2320$

$2480$

$2500$

Solución:

Para $n = 2m$ par, los puntos $n$ -radiales particionales son exactamente $\left(\tfrac{i}{m}, \tfrac{j}{m}\right)$ con $1 \le i, j \le m - 1,$ lo que da $(m-1)^2$ puntos.

Para $n = 100$ ( $m = 50$ ) hay $49^2 = 2401$ puntos. Un punto es a la vez $100$ - y $60$ -radial particional si y solo si sus coordenadas son múltiplos de $\tfrac{1}{10},$ es decir es $20$ -radial particional, lo que da $9^2 = 81$ puntos.

Así que el conteo es $2401 - 81 = 2320.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For even $n = 2m,$ the $n$ -ray partitional points are exactly $\left(\tfrac{i}{m}, \tfrac{j}{m}\right)$ with $1 \le i, j \le m - 1,$ giving $(m-1)^2$ points.

For $n = 100$ ( $m = 50$ ) there are $49^2 = 2401$ points. A point is both $100$ - and $60$ -ray partitional iff its coordinates are multiples of $\tfrac{1}{10},$ i.e. it is $20$ -ray partitional, giving $9^2 = 81$ points.

So the count is $2401 - 81 = 2320.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años