Question

Sea $R$ una región cuadrada y $n \ge 4$ un entero. Un punto $X$ en el interior de $R$ se llama $n$ -radial particional si hay $n$ rayos que emanan de $X$ y dividen $R$ en $n$ triángulos de igual área. ¿Cuántos puntos son $100$ -radiales particionales pero no $60$ -radiales particionales?

Let $R$ be a square region and $n \ge 4$ an integer. A point $X$ in the interior of $R$ is called $n$ -ray partitional if there are $n$ rays emanating from $X$ that divide $R$ into $n$ triangles of equal area. How many points are $100$ -ray partitional but not $60$ -ray partitional?

$1500$

$1560$

$2320$

$2480$

$2500$

Respuesta: C

Conceptos:área punto reticular conteo complementario

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Los puntos $n$ -radiales particionales forman una cuadrícula: para $n = 2m,$ son los puntos interiores $\left(\tfrac{i}{m}, \tfrac{j}{m}\right),$ una matriz $(m-1) \times (m-1)$

The $n$ -ray partitional points form a grid: for $n = 2m,$ they are the interior points $\left(\tfrac{i}{m}, \tfrac{j}{m}\right),$ an $(m-1) \times (m-1)$ array

Pista grande:

Un punto es a la vez $100$ - y $60$ -radial particional exactamente cuando es $20$ -radial particional

A point is both $100$ - and $60$ -ray partitional exactly when it is $20$ -ray partitional

Solución:

Escalemos el cuadrado a $[0,1]^2$ y escribamos $X=(x,y).$ Los rayos deben incluir los que pasan por los cuatro vértices. Cada triángulo pequeño tiene área $\frac{1}{n}.$ Los triángulos cuyas bases dividen el lado inferior tienen área total $\frac{y}{2},$ así que su cantidad es $\frac{ny}{2}.$ Del mismo modo, las cantidades junto a los lados superior, izquierdo y derecho son $\frac{n(1-y)}{2},$ $\frac{nx}{2},$ y $\frac{n(1-x)}{2}.$

Estos cuatro números deben ser enteros positivos. Por tanto, $n$ es par y $\begin{gathered} X=\left(\dfrac{2i}{n},\dfrac{2j}{n}\right), \\ 1\le i,j\le\dfrac n2-1. \end{gathered}$ Recíprocamente, al dividir cada lado en la cantidad indicada de segmentos iguales y unir los puntos de división con $X$ , se producen $n$ triángulos de igual área. Estos son exactamente los puntos particionales.

Para $n=100,$ los puntos son $(\frac{i}{50},\frac{j}{50})$ con $1\le i,j\le49,$ lo que da $49^2=2401.$ Un punto así también es particional de $60$ rayos exactamente cuando $\frac{i}{50}=\frac{c}{30}$ y $\frac{j}{50}=\frac{d}{30}$ para enteros $c,d.$ Por tanto, $i$ y $j$ deben ser múltiplos de $5.$ Hay $9$ opciones para cada uno, de modo que la intersección tiene $9^2=81$ puntos.

Así, el conteo es $2401 - 81 = 2320.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Scale the square to $[0,1]^2$ and write $X=(x,y).$ The rays must include those through the four vertices. Every small triangle has area $\frac{1}{n}.$ The triangles whose bases partition the bottom side together have area $\frac{y}{2},$ so their number is $\frac{ny}{2}.$ Similarly, the numbers along the top, left, and right sides are $\frac{n(1-y)}{2},$ $\frac{nx}{2},$ and $\frac{n(1-x)}{2}.$

These four numbers must be positive integers. Hence $n$ is even and $\begin{gathered} X=\left(\dfrac{2i}{n},\dfrac{2j}{n}\right), \\ 1\le i,j\le\dfrac n2-1. \end{gathered}$ Conversely, partitioning each side into the indicated number of equal segments and joining the division points to $X$ produces $n$ equal-area triangles. Thus these are exactly the partitional points.

For $n=100,$ the points are $(\frac{i}{50},\frac{j}{50})$ with $1\le i,j\le49,$ giving $49^2=2401.$ Such a point is also $60$ -ray partitional exactly when $\frac{i}{50}=\frac{c}{30}$ and $\frac{j}{50}=\frac{d}{30}$ for integers $c,d.$ Thus $i$ and $j$ must both be multiples of $5.$ There are $9$ choices for each, so the overlap has $9^2=81$ points.

So the count is $2401 - 81 = 2320.$

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12A Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años