Question

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con longitudes de lado enteras y con la propiedad de que $\angle B = 2\angle A.$ ¿Cuál es el menor perímetro posible de tal triángulo?

Let $\triangle ABC$ be a triangle with integer side lengths and the property that $\angle B = 2\angle A.$ What is the least possible perimeter of such a triangle?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Respuesta: C

Conceptos:ley de los senos Ecuación diofántica desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Con $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB,$ la condición $\angle B = 2\angle A$ equivale a $b^2 = a(a + c)$ .

With $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB,$ the condition $\angle B = 2\angle A$ is equivalent to $b^2 = a(a + c)$

Pista grande:

Como el perímetro es $b+\dfrac{b^2}{a}\gt2b,$ un perímetro menor que $15$ exige $b\le6$ ; revisa los divisores $a\lt b$ de $b^2$

Since the perimeter is $b+\dfrac{b^2}{a}\gt2b,$ a perimeter below $15$ would require $b\le6$ ; check the divisors $a\lt b$ of $b^2$

Solución:

Cuando $\angle B = 2\angle A,$ las longitudes de los lados satisfacen $b^2 = a(a + c),$ donde $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB.$ Por tanto, $c = \dfrac{b^2 - a^2}{a}$ debe ser un entero positivo y los lados deben formar un triángulo válido.

Además, $b\gt a,$ porque $\angle B=2\angle A\gt\angle A.$ El perímetro es $a+b+c=b+\dfrac{b^2}{a}\gt2b.$ Por ello, un perímetro menor que $15$ exigiría $b\le6.$ Para $b=2,3,4,5,6,$ los divisores $a\lt b$ de $b^2$ producen los pares posibles $\begin{gathered} (b,a)=(2,1),(3,1),\\ (4,1),(4,2),(5,1),\\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4). \end{gathered}$ Al sustituir, se obtiene un triángulo degenerado o inválido en todos los casos salvo $(a,b)=(4,6),$ que da $c=5.$ Por tanto, $(4,5,6)$ es el primer triángulo válido y su perímetro es $15.$

Así, la respuesta correcta es C.

When $\angle B = 2\angle A,$ the side lengths satisfy $b^2 = a(a + c),$ where $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB.$ So $c = \dfrac{b^2 - a^2}{a}$ must be a positive integer, and the sides must form a valid triangle.

Also $b\gt a,$ because $\angle B=2\angle A\gt\angle A.$ The perimeter is $a+b+c=b+\dfrac{b^2}{a}\gt2b.$ Therefore a perimeter below $15$ would require $b\le6.$ For $b=2,3,4,5,6,$ the divisors $a\lt b$ of $b^2$ give the possible pairs $\begin{gathered} (b,a)=(2,1),(3,1),\\ (4,1),(4,2),(5,1),\\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4). \end{gathered}$ Substitution gives a degenerate or invalid triangle in every case except $(a,b)=(4,6),$ which gives $c=5.$ Thus $(4,5,6)$ is the first valid triangle, and its perimeter is $15.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años