Question

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con longitudes de lado enteras y con la propiedad de que $\angle B = 2\angle A.$ ¿Cuál es el menor perímetro posible de tal triángulo?

Let $\triangle ABC$ be a triangle with integer side lengths and the property that $\angle B = 2\angle A.$ What is the least possible perimeter of such a triangle?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Solución:

Cuando $\angle B = 2\angle A,$ las longitudes de lado satisfacen $b^2 = a(a + c),$ donde $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB.$ Así que $c = \dfrac{b^2 - a^2}{a}$ debe ser un entero positivo, y los lados deben formar un triángulo válido.

Probando valores pequeños, $a = 4,$ $b = 6$ da $c = \dfrac{36 - 16}{4} = 5,$ y los lados $4, 5, 6$ forman un triángulo válido con $6^2 = 4(4 + 5).$ Su perímetro es $15,$ y una búsqueda muestra que ningún perímetro menor funciona.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

When $\angle B = 2\angle A,$ the side lengths satisfy $b^2 = a(a + c),$ where $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB.$ So $c = \dfrac{b^2 - a^2}{a}$ must be a positive integer, and the sides must form a valid triangle.

Trying small values, $a = 4,$ $b = 6$ gives $c = \dfrac{36 - 16}{4} = 5,$ and the sides $4, 5, 6$ form a valid triangle with $6^2 = 4(4 + 5).$ Its perimeter is $15,$ and a search shows no smaller perimeter works.

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años