Question

Un octaedro regular tiene longitud de lado $1.$ Un plano paralelo a dos de sus caras opuestas corta el octaedro en dos sólidos congruentes. El polígono formado por la intersección del plano y el octaedro tiene área $\dfrac{a\sqrt{b}}{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, $a$ y $c$ son primos entre sí, y $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

A regular octahedron has side length $1.$ A plane parallel to two of its opposite faces cuts the octahedron into two congruent solids. The polygon formed by the intersection of the plane and the octahedron has area $\dfrac{a\sqrt{b}}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, $a$ and $c$ are relatively prime, and $b$ is not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c?$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Solución:

Sean las dos caras paralelas triángulos. El plano pasa por los puntos medios de las seis aristas que no están en esas caras, formando un hexágono equilátero de lado $\dfrac{1}{2},$ que por simetría también es equiángulo y por lo tanto regular.

Un hexágono regular son seis triángulos equiláteros, así que su área es $6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}.$

Por lo tanto $a = 3,$ $b = 3,$ $c = 8,$ y $a + b + c = 14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the two parallel faces be triangles. The plane passes through the midpoints of the six edges not on those faces, forming an equilateral hexagon of side $\dfrac{1}{2},$ which by symmetry is also equiangular and hence regular.

A regular hexagon is six equilateral triangles, so its area is $6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}.$

Thus $a = 3,$ $b = 3,$ $c = 8,$ and $a + b + c = 14.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años