Question

Los círculos $\omega$ y $\gamma,$ ambos con centro en $O,$ tienen radios $20$ y $17,$ respectivamente. El triángulo equilátero $ABC,$ cuyo interior está dentro de $\omega$ pero fuera de $\gamma,$ tiene el vértice $A$ sobre $\omega,$ y la recta que contiene el lado $BC$ es tangente a $\gamma.$ Los segmentos $AO$ y $BC$ se cortan en $P,$ y $\dfrac{BP}{CP} = 3.$ Entonces $AB$ puede escribirse en la forma $\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}$ para enteros positivos $m, n, p, q$ con $\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1.$ ¿Cuánto vale $m + n + p + q$ ?

Circles $\omega$ and $\gamma,$ both centered at $O,$ have radii $20$ and $17,$ respectively. Equilateral triangle $ABC,$ whose interior lies in the interior of $\omega$ but in the exterior of $\gamma,$ has vertex $A$ on $\omega,$ and the line containing side $BC$ is tangent to $\gamma.$ Segments $AO$ and $BC$ intersect at $P,$ and $\dfrac{BP}{CP} = 3.$ Then $AB$ can be written in the form $\dfrac{m}{\sqrt{n}} - \dfrac{p}{\sqrt{q}}$ for positive integers $m, n, p, q$ with $\gcd(m, n) = \gcd(p, q) = 1.$ What is $m + n + p + q?$

$42$

$86$

$92$

$114$

$130$

Solución:

Sea $s = AB.$ Como $\dfrac{BP}{CP} = 3,$ tenemos $BP = \dfrac{3s}{4}$ y $CP = \dfrac{s}{4}.$ Pon $P$ en el origen con $BC$ sobre el eje $x$ , $B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right),$ $C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right),$ y el ápice $A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right).$

Los puntos $P, O, A$ son colineales, así que $O = t \cdot A$ para algún escalar $t.$ Dos condiciones lo determinan: $O$ está a distancia $17$ de la recta $BC,$ lo que da $|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17,$ y $A$ está sobre $\omega,$ lo que da $|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20$ ya que $|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}.$

Resolviendo, $|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}$ y $|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}.$ La configuración válida da $AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.$

Entonces $m + n + p + q = 80 + 13$ $+ 34 + 3 = 130.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $s = AB.$ Since $\dfrac{BP}{CP} = 3,$ we have $BP = \dfrac{3s}{4}$ and $CP = \dfrac{s}{4}.$ Put $P$ at the origin with $BC$ on the $x$ -axis, $B = \left(-\tfrac{3s}{4}, 0\right),$ $C = \left(\tfrac{s}{4}, 0\right),$ and apex $A = \left(-\tfrac{s}{4}, \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\right).$

Points $P, O, A$ are collinear, so $O = t \cdot A$ for some scalar $t.$ Two conditions pin it down: $O$ is at distance $17$ from line $BC,$ giving $|t| \cdot \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = 17,$ and $A$ is on $\omega,$ giving $|t - 1| \cdot \dfrac{s\sqrt{13}}{4} = 20$ since $|A| = \dfrac{s\sqrt{13}}{4}.$

Solving, $|t| s = \dfrac{34}{\sqrt{3}}$ and $|t - 1| s = \dfrac{80}{\sqrt{13}}.$ The valid configuration gives $AB = s = \dfrac{80}{\sqrt{13}} - \dfrac{34}{\sqrt{3}}.$

Then $m + n + p + q = 80 + 13$ $+ 34 + 3 = 130.$

Thus, the correct answer is E.

2019 AMC 12A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años