Question

En la figura adjunta, $AB$ y $BC$ son lados adyacentes del cuadrado $ABCD;$ $M$ es el punto medio de $AB;$ $N$ es el punto medio de $BC;$ y $AN$ y $CM$ se cortan en $O.$ La razón entre el área de $AOCD$ y el área de $ABCD$ es

In the adjoining figure $AB$ and $BC$ are adjacent sides of square $ABCD;$ $M$ is the midpoint of $AB;$ $N$ is the midpoint of $BC;$ and $AN$ and $CM$ intersect at $O.$ The ratio of the area of $AOCD$ to the area of $ABCD$ is

$\frac56$

$\frac34$

$\frac23$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{\sqrt3-1}{2}$

Respuesta: C

Conceptos:baricentro cuadrado (geometría)descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

En el triángulo $ABC,$ tanto $AN$ como $CM$ son medianas

In triangle $ABC,$ both $AN$ and $CM$ are medians

Pista grande:

Asigna coordenadas al cuadrado y localiza el baricentro $O$

Use coordinates for the square and locate the centroid $O$

Solución:

Toma $A=(0,0),B=(1,0),$ $C=(1,1),D=(0,1).$ Como $O$ es el baricentro del triángulo $ABC,$ $O=(\frac{2}{3},\frac{1}{3}).$ Los triángulos $AOB$ y $COB$ tienen cada uno área $\frac{1}{6}.$ Al quitarlos del cuadrado unitario queda $[AOCD]=1-\frac16-\frac16=\frac23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Take $A=(0,0),B=(1,0),$ $C=(1,1),D=(0,1).$ Since $O$ is the centroid of triangle $ABC,$ $O=(\frac{2}{3},\frac{1}{3}).$ Triangles $AOB$ and $COB$ each have area $\frac{1}{6}.$ Removing them from the unit square leaves $[AOCD]=1-\frac16-\frac16=\frac23.$

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años