Question

Si $ABCD$ es un cuadrado de $2\times2$ , $E$ es el punto medio de $AB,$ $F$ es el punto medio de $BC,$ $AF$ y $DE$ se cortan en $I,$ y $BD$ y $AF$ se cortan en $H,$ entonces el área del cuadrilátero $BEIH$ es

If $ABCD$ is a $2\times2$ square, $E$ is the midpoint of $AB,$ $F$ is the midpoint of $BC,$ $AF$ and $DE$ intersect at $I,$ and $BD$ and $AF$ intersect at $H,$ then the area of quadrilateral $BEIH$ is

$\frac13$

$\frac25$

$\frac7{15}$

$\frac8{15}$

$\frac35$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica line intersection polygon area

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Asigna coordenadas al cuadrado y escribe las ecuaciones de $AF,$ $DE,$ y $BD$

Assign coordinates to the square and write equations for $AF,$ $DE,$ and $BD$

Pista grande:

Halla $I$ y $H,$ y luego usa la fórmula del zapatero con $B,E,I,H$

Find $I$ and $H,$ then use the shoelace formula on $B,E,I,H$

Solución:

Sea $B=(0,0),$ $C=(2,0),$ $D=(2,2),$ y $A=(0,2).$ Entonces $E=(0,1),$ $F=(1,0),$ y las intersecciones son $\begin{aligned} I&=AF\cap DE =\left(\frac25,\frac65\right),\\ H&=AF\cap BD =\left(\frac23,\frac23\right). \end{aligned}$ La fórmula del zapatero da $\begin{aligned} [BEIH] &=\frac12\left| \frac4{15}-\frac25-\frac45 \right|\\ &=\frac7{15}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Set $B=(0,0),$ $C=(2,0),$ $D=(2,2),$ and $A=(0,2).$ Then $E=(0,1),$ $F=(1,0),$ and the line intersections are $\begin{aligned} I&=AF\cap DE =\left(\frac25,\frac65\right),\\ H&=AF\cap BD =\left(\frac23,\frac23\right). \end{aligned}$ The shoelace formula gives $\begin{aligned} [BEIH] &=\frac12\left| \frac4{15}-\frac25-\frac45 \right|\\ &=\frac7{15}. \end{aligned}$

Thus the correct answer is C.

1991 AMC 12 Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años